動態規劃問題總結

一、什麼是動態規劃？

動態規劃演算法通常基於乙個遞推公式及乙個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規劃來解題只需要多項式的時間複雜度。

二、例子講解

首先，我們要找到某個狀態的最優解，然後在它的幫助下，找到下乙個狀態的最優解。

用leetcode上的198題house robber作為乙個入門例子吧。

題目的大意是：你是乙個專業的江洋大盜要盜竊一條街道上的房屋裡的財寶。每個房屋都有一定數量的財寶。唯一的限制條件是：任意相鄰的兩個房屋都有乙個互聯的安全系統，如果你同時盜竊相鄰的兩個房屋那麼安全系統會自動報警。在不驚動警察的前提下，算出你今晚能盜竊到的最大的財寶數。用陣列nums儲存每個房屋的財寶，nums[i]表示第i間房屋的財寶。

用動態規劃的思想，將乙個子問題用上乙個子問題的解來表示。對於第i 間房屋，你有兩種選擇：盜竊和不盜竊。（1）如果要盜竊第i間房屋，那麼必定不能盜竊第i-1間房屋，因為會報警，所以收益就等於在判斷第i-2間房屋時候得到的最大收益+第i間房屋的財寶。（2）如果不盜竊第i間房屋，最大收益等於判斷第i-1間房屋時的最大收益。

我們不妨用dp[i] 表示在判斷第i間房屋時得到的最大收益，rob[i]表示盜竊第i間房屋。

那麼轉換方程是：dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])

有了轉換方程，接下來只需要對其進行初始化即可。易知：dp[0] = 0, dp[1] = nums[0]。有了狀態和狀態轉移方程，這個問題基本上也就解決了。

因此c++**如下：

class solution 
return dp[len];
}};

類似的還有leetcode上的121題：best time to buy and sell stock。

另一類動態規劃的題像leetcode上的377題：combination sum iv。

題意：給你乙個整數序列，序列中的數均為正數且沒有重複的，找出所有可能的組合使得它們加起來等於target。

example:

nums

= [1, 2, 3]

target

= 4

the possible combination ways are:

(1, 1, 1, 1)

(1, 1, 2)

(1, 2, 1)

(1, 3)

(2, 1, 1)

(2, 2)

(3, 1)

note that different sequences are countedas different combinations.

therefore the output is7.

使用動態規劃的思想，將乙個子問題用前乙個子問題的解來表示。不妨設dp[i] 表示當target=i 時一共有多少種組合情況。假設可以拆分的整數序列為nums，那麼第一種情況就是將target 拆分成nums[0]和target-nums[0]兩部分，那麼第一種情況的組合數量為dp[target-nums[0]]；第二種情況是將target拆分成nums[1]和target-nums[1]，那麼第二種情況的組合數量為dp[target-nums[1]]....，以此類

推, dp[target]=

dp[target-nums[0]]+dp[target-nums[1]]+dp[target-nums[2]]+...+dp[target-nums[n-1],

n=nums.size()

有了狀態轉移方程後，要思考初始化情況, dp[0]=1。

於是c++**如下：

class solution 
}//for
return dp[target];
}};

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