動態規劃演算法是用來解決一類最優化問題的演算法思想，比如說你運用了乙個演算法解決了乙個問題，但是呢，這個演算法時間複雜度比較高，那麼我們如何進行優化降低它的時間複雜度呢？當然優化演算法有很多種，這裡運用動態規劃演算法來進行優化，使用動態規劃可以讓時間複雜度降到最低，因為它是用來解決一類最優化問題的演算法思想。
那麼我們如何判斷某一類問題的求解可以運用動態規劃呢？？？
首先，我們需要了解下面兩組概念：重疊子問題 和 最優子結構
重疊子問題：如果乙個問題的求解可以被分為若干個子問題的求解，且這些子問題會不斷的重複出現，那麼就稱這個問題擁有重疊子問題【一般我們解決重疊子問題的時候，會利用dp陣列將這些子問題的解存放起來，當下次用到，就直接呼叫dp陣列，而不用又去重新求解，浪費時間---->這種解法我們稱之為記憶化搜尋，記憶化搜尋常用遞迴去實現：比如斐波那契數列遞迴記憶化搜尋、01揹包問題運用遞迴記憶化搜尋等等，，，我們也稱之為動態規劃的遞迴寫法】
最優子結構：如果乙個問題的最優解可以由其子問題的最優解有效構造/遞推出來，那麼稱這個問題擁有最優子結構【對於這種擁有最優子結構的問題解法，我們往往可以利用遞推去解決，即利用dp陣列進行遞推，比如揹包問題，數塔問題，最長公共子串行問題，dag最長路的求解，最長回文字串問題等等，，我們稱之為動態規劃的遞推寫法】
我們一般可以使用遞迴或者遞推的寫法來實現動態規劃，其中遞迴寫法在此處又稱作記憶化搜尋
動態規劃用遞迴去實現的計算方式是自頂向下，即從目標問題開始，將它分解成子問題的組合，直到分解至邊界為止（利用dp陣列記錄子問題的解，以便下次呼叫的時候直接返回dp記錄的結果）
動態規劃用遞推去實現的計算方式是自底向上，即從邊界開始（利用dp陣列進行初始化，即考慮邊界情況，在邊界，dp陣列是可以確定的）不斷向上解決問題，直到解決了目標問題
綜上：乙個問題需要擁有重疊子問題或最優子結構的性質，方可運用到動態規劃演算法去進行優化。
下面請自行思考以下兩個問題：
1、分治與動態規劃有什麼區別？
相同點：它們都是將原問題劃分成規模較小的子問題，最後合併子問題的解得到元問題的解
不同點：動態規劃解決的問題擁有重疊子問題，而分治沒要求（比如歸併排序，快速排序等，求解過程中是不出現重疊子問題的，因此它們那種求解方法叫分治法，而不是動態規劃解法），不擁有重疊子問題的動態規劃解法那就叫分治了，而不叫動態規劃。另外，分治法解決的問題不一定是最優的，但是動態規劃解決的問題一定是最優化問題
2、貪心與動態規劃又什麼區別？
首先，貪心和動態規劃都要求原問題擁有最優子結構，貪心演算法採用計算方式是自頂向下，貪心是一種壯士斷腕的決策，只要進行了選擇，就不會後悔，顯然這種演算法"最優選擇"的正確性需要一定的數學歸納法證明。以數塔問題為例，數塔問題雖然具有最優子結構，但是如果採用貪心演算法去解決，這種所謂的"最優選擇"是錯誤的，最後並不能得到正確的解法。
下面我們**如何利用動態規劃？？？
對於動態規劃可以解決的問題，總會有很多設計狀態的方式，因此我們必須設計乙個具有無後效性的狀態以及狀態轉移方程
多階段動態規劃問題
以揹包問題為例：
我們的常規解法是利用遞迴去求解，其時間複雜度達到了2的n次方，但我們仔細發現，此問題擁有重疊子問題呀！！！（可自行畫出遞迴圖）那麼我們肯定就可以利用動態規劃去解決了，就是利用dp陣列記錄子問題解，當遇到此子問題，直接return dp[i]就行了 ，這叫做動態規劃的遞迴實現（也叫記憶化搜尋）我們再仔細研究研究，我們可以從記憶化搜尋出發推導出遞推式（對動態規劃熟練的話，可以直接判斷出此類揹包問題存在最優子結構，可自行寫出遞推式），這樣就可以採用動態規劃的遞推寫法（只需要兩個for迴圈即可搞定）。
比如：01揹包問題中，如果dp陣列只是一維，那麼無法設計出遞推式，我們可以考慮：（既然題目上是說將n件物品放入容量為v的揹包中，是否能考慮將n作為乙個維度，v又作為乙個維度呢？）將dp上公升到二維dp[i][j]。
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