傅利葉變換詳解

傅利葉變換

傅利葉變換（fourier transform）是一種線性的積分變換，從時間轉換為頻率的變化

這是將頻率域的函式f(ω)表示為時間域的函式f（t）的積分形式

連續傅利葉變換的逆變換 (inverse fourier transform)為：

一般可稱函式f（t）為原函式，而稱函式f(ω)為傅利葉變換的像函式，原函式和像函式構成乙個傅利葉變換對（transform pair）。

其他形式變換對

或者是因係數重分配而得到新的變換對：

2.傅利葉級數

連續形式的傅利葉變換其實是傅利葉級數 (fourier series)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於週期函式，其傅利葉級數是存在的：

其中fn為復幅度。對於實值函式，函式的傅利葉級數可以寫成：

其中an和bn是實頻率分量的幅度。

3.離散時域傅利葉變換

離散傅利葉變換是離散時間傅利葉變換（dtft）的特例。dtft在時域上離散，在頻域上則是週期的。dtft可以被看作是傅利葉級數的逆變換。

4.離散傅利葉變換

離散傅利葉變換（dft），是連續傅利葉變換在時域和頻域上都離散的形式，將時域訊號的取樣變換為在離散時間傅利葉變換（dtft）頻域的取樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散週期訊號的主值序列。即使對有限長的離散訊號作dft，也應當將其看作經過週期延拓成為週期訊號再作變換。在實際應用中通常採用快速傅利葉變換以高效計算dft。

為了在科學計算和數字訊號處理等領域使用計算機進行傅利葉變換，必須將函式xn定義在離散點而非連續域內，且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下，使用離散傅利葉變換（dft），將函式xn表示為下面的求和形式：

其中xk是傅利葉幅度。直接使用這個公式計算的計算複雜度為o（nn），而快速傅利葉變換（fft）可以將複雜度改進為o（nlgn）。

實數離散傅利葉變換

（乙個長度為n的訊號可以分解成n/2+1個正余弦訊號，乙個長度為n的訊號，最多只能有n/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度範圍 ）

在程式中：

x表示訊號在每個時間點上的幅度值陣列, 用大寫x表示每種頻率的副度值陣列（即時間x-->頻率x）

x陣列分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：re x，
另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：im x

函式在時（頻）域的離散對應於其像函式在頻（時）域的週期性。反之連續則意味著在對應域的訊號的非週期性。也就是說，時間上的離散性對應著頻率上的週期性。同時，注意，離散時間傅利葉變換，時間離散，頻率不離散，它在頻域依然是連續的。

根據原訊號的不同型別，我們可以把傅利葉變換分為四種類別：

2、週期性連續訊號 傅利葉級數(fourier series)

3、非週期性離散訊號 離散時域傅利葉變換（discrete time fourier transform）

4、週期性離散訊號 離散傅利葉變換(discrete fourier transform)

下圖是四種原訊號圖例（從上到下，依次是ft，fs，dtft，dft）：

把訊號用複製的方法進行延伸，這樣訊號就變成了週期性離散訊號，這時我們就可以用離散傅利葉變換方法（dft）

2.對於非週期性的訊號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示：

對於離散訊號的變換只有離散傅利葉變換（dft）才能被適用，對於計算機來說只有離散的和有限長度的資料才能被處理

6.形象理解

矩形波在頻域裡的另乙個模樣了：

這就是矩形波在頻域的樣子，頻域影象，也就是俗稱的頻譜，就是——

再清楚一點：

可以發現，在頻譜中，偶數項的振幅都是0，也就對應了圖中的彩色直線。振幅為 0 的正弦波。

我見解

傅利葉變換是乙個線性的積分變換，從時域到頻域，傅利葉變換分為連續傅利葉變換、傅利葉級數、離散時域傅利葉變換、離散傅利葉變換（dft）.原理即是將輸入的長度為n訊號分解為n/2+1 正余弦，通過正交的原理。

傅利葉變換，實際上就是給乙個時域上的函式乘上旋轉因子,然後在全時間域上積分。在全時間域上積分，所以最後結果就刨去了時間t的影響。最後的積分結果是乙個只關於的函式，也就是說是乙個關於角頻率的函式。這樣就實現了時域到頻域的轉換。

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