這裡的博弈，即兩個人輪流進行決策的非合作博弈，並且兩人都使用最優策略來獲取勝利，遵循相同的規則且均不會出現失誤， 博弈的次數是有限的。
1.巴什博弈（bash game）
只有一堆n塊石子，兩個人輪流取石子，規定每次最少取1個，最多取m個，最終先取完者獲勝。通常來想，如果n=m+1，那麼無論先取者拿走多少個，後取者都能一次拿走剩餘的物品，後取者勝利。
（1）. 如果n = (m+1) * r，（r為任意正整數），先取者拿走k塊石子，無論k為多少，後取者只要取（m+1-k）,則後取者必勝。
（2）. 如果n = (m+1) * r + s，（r為任意正整數，s<=m）, 先取者拿走s塊石子【給對手留下了（m+1）的倍數，相當於交換了先後順序】後取者拿走k塊，先取者拿走（m+1-k）塊，那麼剩下 (m+1)*(r-1) 塊，故和（1）類似，則先取者必勝。
偽**：if(n%(m+1)！=0) 先取者必勝； else 後取者必勝；
2.威佐夫博奕（wythoff game）
有兩堆石子，兩人輪流從其中一堆至少取一塊石子，最多不限，或從兩堆中同時取相同件物品，規定先取完者獲勝。
可以用兩個數（a[k],b[k]）（a[k]≤b[k]）表示兩堆石子的數量。 如果說先手遇到了（0,0）這樣的局勢，那麼先手就輸了，被稱為
奇異局勢。
前幾個奇異局勢如下：（0,0）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）、（8,13）···
首先要明確先手不能把任意一堆取完，如果取完了很明顯後手會取完另外一堆那麼先手必輸。
eg1.遇到(1,2)，先手必輸。
4種取法：
1）取 1 中的乙個，那麼後手取第二堆中兩個。
2）取 2 中乙個，那麼後手在兩堆中各取乙個。
3）在 2 中取兩個，那麼後手在第一堆中取乙個。
4）兩堆中各取乙個，那麼後手在第二堆中取乙個。
遇到（3,5），先手必輸。
eg2.遇到(3,5)，先手必輸。
考慮先看在一堆中取，取1個，後手在第2堆取4個，就變成（1,2）了；取2個，後手取3。考慮在第二堆裡取，同理...
規律：他們的差值是0,1,2,3..，n遞增的；還發現局面中第乙個值為前面局面中沒有出現過的第乙個值；發現第乙個值 = 差值 * 1.618 ；而1.618 = （sqrt（5）+ 1） / 2 。
0.618是**分割率。而威佐夫博弈正好是1.618！
3.尼姆博弈（nimm game）可以引申為多堆物品，
有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
(a,b,c)表示某種局勢，(0,0,0)顯然是必敗態；第二種必敗態是(0,n,n)，先手在某一堆拿走k（k ≤ n）個物品，對方只要在另一堆拿走k個物品，都將面臨(0,0,0)的局勢。(1,2,3)也是必敗態，無論自己如何拿，接下來對手都可以把局勢變為(0,n,n)。【異或
也叫半加運算，其運算法則不帶進製的二進位制加法：二進位制下用1表示真，0表示假，則異或的運算法則為：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同為0，異為1），這些法則與加法是相同的，只是不帶進製。異或簡稱為xor、eor、ex-or。】
看(1,2,3)的按位模2加的結果：
1 = 二進位制01
2 = 二進位制10
3 = 二進位制11 xor
——————————
0 = 二進位制00 (注意不進製)
對於奇異局勢(0,n,n)，異或結果也是0。
任何奇異局勢(a,b,c)都有a^b^c = 0。
面對非必敗態(a,b,c)，如何變為必敗態呢？
假設 a < b < c，我們只要將 c 變為a^b，即可。因為：a^b ^(a^b)=(a^a) xor (b^b)=0^0 =0
所以說：要將c 變為a xor b，只要對在c中取走 c-(a^b)這麼多即可。
4.fibonacci博弈
有一堆個數為n的石子，遊戲雙方輪流取石子，規定：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完；
2)之後每次可以取的石子數介於1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。
約定取走最後乙個石子的人為贏家，求必敗態。
當n為斐波那契數的時候，必敗。
f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
證明：根據「zeckendorf定理」（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的fibonacci數之和。
如n=83 = 55+21+5+2 ：假如先手取2顆，那麼後手無法取5顆或更多，而5是乙個fibonacci數，那麼一定是先手取走這5顆石子中的最後一顆，同理，接下去先手取走接下來的後21顆中的最後一顆，再取走後55顆中的最後一顆，那麼先手贏。
反證：如果n是fibonacci數，如n=89：記先手一開始所取的石子數為y
（1）若y>=34顆（也就是89的向前兩項），那麼一定後手贏，因為89-34=55=34+21<2*34。
（2）y<34時剩下的石子數x介於55到89之間，它一定不是乙個fibonacci數，把x分解成fibonacci數：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那麼對b就是面臨x局面的先手，所以根據之前的分析，後手只要先取f[j]個即可，以後再按之前的分析就可保證必勝。
也可參考這個部落格：
ps. 關於p（previous）n（next）
必敗點(p點) :前乙個選手
(previous)將取勝的位置稱為必敗點。
必勝點(n點) :下乙個選手
(next)將取勝的位置稱為必勝點
。1.無法進行任何移動的局面是p-position。
2.可以移動到p-position的局面是n-position；
即如果當前的局面你如果可以勝利，那麼必然意味著你能創造乙個必輸的局面給對方
3.所有移動都導致n-position的局面是p-position。
即如果你是必輸的局面，那麼意味著不管比賽有沒有分出最後的結果，你的所有移動得到的結果都是對方勝利的局面，或者說都是對方又可以把你置為必輸的局面的位置
基礎博弈問題
time limit 1000 ms memory limit 65536 kib submit statistic problem description guns和roses是兩個好朋友，這一天他們比賽吃葡萄。假定他們有ans顆葡萄。在比賽之前他們會首先確定每次吃葡萄的數量的最大值為s，和ans...
基礎經典博弈
1.巴什博弈 題目一般是兩人輪流每次在n個物品中拿取不超過m個且至少拿乙個，拿光者勝出。我們可以將n個物品寫成k m 1 b b 0 所以先手先拿掉b個物品，後手只能拿x個物品 1 x m 這時先手再拿m 1 x個物品，迴圈往復可以保證先手的人最後拿完物品，先手就必勝。當b 0時無論先手怎麼拿，後手...
博弈基礎小結
巴什博弈 一堆n個物品，兩個人輪流取1 m個，最後乙個取光的人勝利 if n m 1 return false else return true wythoff博弈 兩堆各若干個物品，兩人輪流從一堆中取走至少乙個，或者從兩堆中取走相同數量的物品，最後乙個取光的人勝利 差值 分割比 最小值時後手贏，否...