定義p-position和n-position，其中p代表previous，n代表next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是p-position，也就是「後手可保證必勝」或者「先手必敗」，現在輪到move的人有必勝策略的局面是n-position，也就是「先手可保證必勝」。更嚴謹的定義是：1.無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是p-position；2.可以移動到p-position的局面是n-position；3.所有移動都導致n-position的局面是p-position。
注意：對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素；
歸納為3點：
1） terminal position（終態）為p_position. （先手輸）
2）n_position （先手贏）---存在某個移動----->p_position(當前局勢的先手輸)
3）p_position(先手輸)-----任何移動----->n_position(當前局勢的先手贏)。
當只有兩堆石子且兩堆石子數量相等時後手有必勝策略，也就是這是乙個p-position。我們可以用定義證明：
（2,2）局面是乙個 p_position.
（2,2） ---可以移動的子局面-->(1,2),(0,2)
(1,2) ----可以移動--->（1,1）---唯一移動--->(1,0)---唯一移動--->(0,0)
n_position<--可以--- p_position < --任意 ------ n_ position <--- 因為（0.0）是p_position
(0,2) ---可以移動-->(0,0)
n_position<---可以--p_position
因此， 由於（2,2）的子局面（1,2），（0,2）都是n_position, 故（2,2）是 p_position。
由歸納法 ， 同理可得出， 當兩堆有相同石子 的 堆， 該局面為p_position.(即先手輸)。
上面是引子，引出下面的定理：(bouton's theorem)：對於乙個nim遊戲的局面(a1,a2,...,an)，它是p-position當且僅當a1^a2^...^an=0，其中^表示異或(xor)運算。
申明：
根據定義，證明一種判斷position 性質方法的正確性，只需證明下面三個命題。
1）這個 判斷 一定是將所有的terminal position判斷為 p_position.
2) 根據這個 判斷 被判為 n_position的局面 一定 可以移動 到某個 p_position.
3)根據這個 判斷 被判為 p_position 的局面 無法移動 到 某個 p_position.
證明： bouton's theorem ， 中 的判斷是 如果a1^a2^...^an=0 ，則（a1,a2,...,an） 是 p_position
第乙個命題： 顯然成立。 terminal 只有乙個 就是 （0,0,……,0） ， 根據判斷a1^a2^...^an===0， 是p_position.
第二個命題： 如果 對於某個局面（a1,a2,...,an） 是 n_position， 則a1^a2^...^an != 0, 一定 存在某個 合法的移動，
將 ai 改變成ai' 後使得a1^a2^...^ai'^...^an=0.
不妨設a1^a2^...^an = k, 則 一定存在某個 ai 它的二進位制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個1是怎麼得到的）。 這時令 ai' = ai^k < ai(滿足取石頭要求) 。
則 移動後的局面 是 （a1,a2, ....ai',...,an）, 有a1^a2^...^ai'^...^an =a1^a2^...^ai^...^an^k = 0, 為 p_position。命題得證。
第三個命題： 對於某個局面（a1,a2,...,an） 是 p_position,則a1^a2^...^an = 0。 假設可以通過合法的移動， 將 ai 改變成ai' 後 使得a1^a2^...^ai'^...^an
= 0
因為 異或滿足 消除律， 則有 ai = ai', 這不滿足至少取乙個石子，不是合法移動， 故 被判為 p_position 的局面 無法移動到 某個 p_position.
證畢。
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