母函式，又稱生成函式，是acm競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。
本文講解母函式，但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜尋一下。
母函式通常解決類似如下的問題：
給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？
某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。
某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。 ……
解題過程
解題時，首先要寫出表示式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表示式為
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...(x^(v[k]*n1[k])+x^(v[k]*(n1[k]+1))+x^(v[k]*(n1[k]+2))+...+x^(v[k]*n2[k]))
k對應具體問題中物品的種類數。
v[i]表示該乘積表示式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。
n1[i]表示該乘積表示式第i個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。
n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。
對於表示式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]=，n1[3]=，n2[3]=。
解題的關鍵是要確定v、n1、n2陣列的值。
通常n1都為0，但有時候不是這樣。
n2有時候是無限大。
之後就實現表示式相乘，從第乙個因子開始乘，直到最後乙個為止。此處通常使用乙個迴圈，迴圈變數為i。每次迭代的計算結果放在陣列a中。計算結束後，a[i]表示權重i的組合數，對應具體問題的組合數。
迴圈內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘，加到乙個臨時的陣列b的對應位（這裡有兩層迴圈，加上最外層迴圈，總共有三層迴圈），之後就把b賦給a。
這些過程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接給出通用模板：
[cpp]view plain
copy
print?
//為計算結果，b為中間結果。
int a[max],b[max];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//迴圈每個因子
//為計算結果，b為中間結果。
int a[max],b[max];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=17;i++)//迴圈每個因子
p是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說，如果要求15元有多少組合，那麼p就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼p就是所有錢加起來的和。p有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。
如果n2是無窮，那麼第二層迴圈條件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率？
用乙個last變數記錄目前最大的指數，這樣只需要在0..last上進行計算。
這裡給出第二個模板：
[cpp]view plain
copy
print?
//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i
//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=0;i例題
下面看幾個例題。
一、hdu 1085和hdu 1171兩題套用了第二個模板，省略了**中二三層迴圈裡關於last2的條件（其實也可以加上）。
詳見：hdu 1085：
hdu 1171：
二、hdu 1398套用了第乙個模板，因為n2中每一項為無窮大，所以n2陣列就省略了。
詳見：hdu 1398：
三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三題直接套用了第二個模板。
詳見：hdu 2079：
hdu 2082：
hdu 2110：
另外，至於什麼時候用第乙個模板，什麼時候用第二個模板，就看題目規模。
通常情況下，第乙個模板就夠用了，上面的那些用第二個模板的題目用第乙個模板同樣能ac。
但如果資料規模比較大（通常不會有這種情況），就要使用第二個模板了。
以上題目n1均為0。
四、hdu 2152是一道n1不為0的題目，我在這裡分別套用第乙個和第二個模板解題。
詳見：hdu 2152：
希望大家讀了我的這篇文章後能有收穫。
母函式模板
研究以下多項式乘法 可以看出 x2項的係數a1a2 a1a3 an 1an中所有的項包括n個元素a1，a2，an中取兩個組合的全體 同理 x3項係數包含了從n個元素a1，a2，an中取3個元素組合的全體 以此類推。特例 若令a1 a2 an 1，在 8 1 式中a1a2 a1a3 an 1an項係數...
母函式模板解釋
母函式模板 1 母函式應用於 形式上說，普通型生成函式用於解決多重集的組合問題，而指數型母函式用於解決多重集的排列問題.現在我們先討論普通生成函式 2 定義 1 x n 1 c n,1 x c n,2 x 2 c n,3 x 3 c n,n n g x a0 a1x a2x 2 anx n 函式g ...
母函式模板核心
至 先理解乙個簡單的 母函式，又稱生成函式，是acm競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。本文講解母函式，但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜尋一下。母函式通常解決類似如下的問題 給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，...