母函式，又稱生成函式，是acm競賽中經常使用的一種解題演算法，常用來解決組合方面的題目。
本文講解母函式，但不講解該演算法的基礎理論。讀者隨便找一本組合數學教材便可找到相應的內容，或者直接在網上搜尋一下。
母函式通常解決類似如下的問題：
給5張1元，4張2元，3張5元，要得到15元，有多少種組合？
某些時候會規定至少使用3張1元、1張2元、0張5元。
某些時候會規定有無數張1元、2元、5元。 ……
解題過程
解題時，首先要寫出表示式，通常是多項的乘積，每項由多個x^y組成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表示式為
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...(x^(v[k]*n1[k])+x^(v[k]*(n1[k]+1))+x^(v[k]*(n1[k]+2))+...+x^(v[k]*n2[k]))
k對應具體問題中物品的種類數。
v[i]表示該乘積表示式第i個因子的權重，對應於具體問題的每個物品的價值或者權重。
n1[i]表示該乘積表示式第i個因子的起始係數，對應於具體問題中的每個物品的最少個數，即最少要取多少個。
n2[i]表示該乘積表示式第i個因子的終止係數，對應於具體問題中的每個物品的最多個數，即最多要取多少個。
對於表示式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]=，n1[3]=，n2[3]=。
解題的關鍵是要確定v、n1、n2陣列的值。
通常n1都為0，但有時候不是這樣。
n2有時候是無限大。
之後就實現表示式相乘，從第乙個因子開始乘，直到最後乙個為止。此處通常使用乙個迴圈，迴圈變數為i。每次迭代的計算結果放在陣列a中。計算結束後，a[i]表示權重i的組合數，對應具體問題的組合數。
迴圈內部是把每個因子的每個項和a中的每個項相乘，加到乙個臨時的陣列b的對應位（這裡有兩層迴圈，加上最外層迴圈，總共有三層迴圈），之後就把b賦給a。
這些過程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接給出通用模板：
[cpp]view plain
copy
//為計算結果，b為中間結果。
inta[max],b[max];
//初始化a
memset(a,0,sizeof
(a));
a[0]=1;
for(
inti=1;i<=17;i++)
//迴圈每個因子
p是可能的最大指數。拿鈔票組合這題來說，如果要求15元有多少組合，那麼p就是15；如果問最小的不能拼出的數值，那麼p就是所有錢加起來的和。p有時可以直接省略。具體請看本文後面給出的例題。
如果n2是無窮，那麼第二層迴圈條件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率？
用乙個last變數記錄目前最大的指數，這樣只需要在0..last上進行計算。
這裡給出第二個模板：
[cpp]view plain
copy
//初始化a，因為有last，所以這裡無需初始化其他位
a[0]=1;
intlast=0;
for(
inti=0;i
例題
下面看幾個例題。
一、hdu 1085和hdu 1171兩題套用了第二個模板，省略了**中二三層迴圈裡關於last2的條件（其實也可以加上）。
詳見：hdu 1085：
hdu 1171：
二、hdu 1398套用了第乙個模板，因為n2中每一項為無窮大，所以n2陣列就省略了。
詳見：hdu 1398：
三、hdu 2079、hdu 2082和hdu 2110三題直接套用了第二個模板。
詳見：hdu 2079：
hdu 2082：
hdu 2110：
另外，至於什麼時候用第乙個模板，什麼時候用第二個模板，就看題目規模。
通常情況下，第乙個模板就夠用了，上面的那些用第二個模板的題目用第乙個模板同樣能ac。
但如果資料規模比較大（通常不會有這種情況），就要使用第二個模板了。
以上題目n1均為0。
四、hdu 2152是一道n1不為0的題目，我在這裡分別套用第乙個和第二個模板解題。
詳見：hdu 2152：
希望大家讀了我的這篇文章後能有收穫。
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