斐波拉契數列的三種解法

斐波那契數列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2

f(0)=0; f(1)=1;

即有名的兔子繁衍問題。

斐波那契數列共有三種解法，因而寫這篇文章總結一下。

1. 遞迴求解

遞迴求解比較簡單，是大家常見的一種解法。

int fibonacci(int n)

if (n==1) 
return fb(n-1)+fb(n-2);
}

設f(n)為引數為n時的時間複雜度，很明顯：f(n)=f(n-1)+f(n-2)

這就轉化為了數學上的二階常係數差分方程，並且為其次方程。

即轉化為了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;

特徵方程為：x^2-x-1=0

得 x=(1±√5)/2

因而f(n)的通解為:

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2

最終可得，時間複雜度為：

2. 第一種解法比較簡單，但是多個元素重複計算，因而時間複雜度較高，為了避免重複計算，可進行迴圈計算減少時間複雜度

int fibonacci(int n) 

if (n==1) 
intmin=0;
intmax=1;
int i=2;
int result=0;
while (i<=n) 
return result;
}

3. 還有一種時間複雜度更低的演算法。

根據上面的遞迴公式，我們可以得到

因而計算f(n)就簡化為了計算矩陣的(n-2)次方，而計算矩陣的(n-2)次方，我們又可以進行分解，即計算矩陣(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，由於折半計算矩陣次方，因而時間複雜度為o(log n)

具體**實現如下：

//

//  main.cpp
//  fibonaccimatrix
////  created by shunagao on 15/8/31.
//#include 
using
namespace
std;
class matrix
n=num;
clear();
}void clear()}}
void unit()
}matrix operator=(const matrix mtx)
matrix operator*(const matrix &mtx)
};int main(int argc, const
char * argv) 
first=first*first;
n=n/2;
}cout
<
0;}

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