已知
f(n)=∑d
|nf(
d)求證: f(
n)=∑
d|nμ
(d)f
(nd)
(d|n代表d是n的因數) 其中μ
(d) 為莫比烏斯函式，定義如下：
(1)若d=
1 則μ(
d)=1
; (2)若d=
p1p2
...p
k,pi
為互異素數，那麼μ(
d)=(
−1)k
(3)其它情況下μ(
d)=0
求證之前先證明μ(
d)的乙個性質
對於任意正整數n有: ∑d
|nμ(
d)={
1,0,
n=1n>1
證明:
①當n=1時,顯然成立 ②當n
≠1時,
將n分解
為n=p
a11p
a22p
a33.
..pa
kk 在
n 的所有因子中,
μ值不為零的只有所有質因子次數都為1的因,其中質因數個數為
r 個的因子有cr
k個,那麼: ∑d
|nμ(
d)=c
0k−c
1k+c
2k..
.(−1
)kck
k=∑i
=1k(
−1)i
cik
有二項式定理 (x
+y)k
=∑i=
1kci
kxiy
k−i
將x=−
1,y=
1 帶入期中,可得 0=
∑i=1
k(−1
)ici
k 證得: ∑d
|nμ(
d)={
1,0,
n=1n>1②
莫比烏斯反演定理推導 ∑d
|nμ(
d)f(
nd)=
∑d|n
μ(d)
∑k|n
df(k
) ∑d
|nμ(
d)∑k
|ndf
(k)=
∑d|n
f(k)
∑d|n
kμ(d
)②我認為②最難理解了,可以這樣理解,兩重for迴圈求解f(
k)∗μ
(d)
交換迴圈上限不影響結果.
因為k是nd
的因子,所以存在乙個整數p使p∗
k∗d=
n ,所以列舉nd
和nk 效果是一樣的;
在②中,對於∑d
|nkμ
(d)
當且僅當nk
=1時,∑d|
nkμ(
d)=1
所以:∑d
|nf(
k)∑d
|nkμ
(d)=
f(n)
所以:∑d
|nμ(
d)f(
nd)=
f(n)
證畢.
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
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莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...