hopfield網路及學習演算法最初是由美國物理學家j.j hopfield於2023年首先提出的，曾經為人工神經網路的發展程序開闢了新的研究途徑。它利用與階層型神經網路不同的結構特徵和學習方法，模擬生物神經網路的記憶機理，獲得了令人滿意的結果。
hopf
ield最早提出的網路是二值神經網路，神經元的輸出只取1和0，所以，也稱離散hopfield神經網路（discrete hopfield neural network，dhnn）。在離散hopfield網路中，所採用的神經元是二值神經元，因此，所輸出的離散值1和0分別表示神經元處於啟用和抑制狀 態。
離散型hopfield神經網路的結構如下圖所示。
從dhnn的結構可以看出：它是一種多輸入、含有閾值的二值非線性動態系統。在動態系統中，平衡穩定狀態可以理解為系統某種形式的能量函式在系統運動過程 中，其能量值不斷減小，最後處於最小值。coben和grossberg在2023年給出了關於hopfield網路穩定的充分條件，他們指出：如果 hopfield網路的權係數矩陣是乙個對稱矩陣，並且對角線元素為0，則這個網路是穩定的。應該指出，這只是hopfield網路穩定的充分條件，而不 是必要條件。在實際中有很多穩定的hopfield網路，但是它們並不滿足權係數矩陣 是對稱矩陣這一條件。
第二部分 工具箱講解
hopfield神經網路工具箱主要包括newhop和sim函式。
1 newhop
函式功能：建立乙個離散型hopfield網路。
呼叫格式：net=newhop(t);
t：具有q個目標向量的r*q矩陣（元素必須為-1或1）；
net：生成的神經網路，具有在t中的向量上穩定的點。
2 sim
函式功能：對訓練好的神經網路進行**。
呼叫格式：[y,af,e,perf] = sim(net,p,ai,t)
[y,af,e,perf] = sim(net,,ai,t)
p，q：測試向量的個數；
ai：初始的層延時，預設為0；
t：測試向量；
ts：測試的步數；
y：網路的輸出向量；
af：訓練終止時的層延遲狀態；
e：誤差向量；
perf：網路的效能。
說明：函式中用到的引數採取了兩種不同的形式進行表示：矩陣和元胞陣列。矩陣的形式只用於**的時間步長ts=1的場合，元胞陣列形式常用於一些沒有輸入訊號的神經網路。
第三部分 程式示範
% ------------------------------number array---------------------------------
one=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];
two=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...
-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...
-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...
-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...
-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];
% --------------------------plot standard number figure--------------
subplot(2,3,1)
imshow(imresize(one,20))
title('standard number')
subplot(2,3,4)
imshow(imresize(two,20))
title('standard number')
% ---------------------------creat hopfield net---------------------
t=[one;two]';
net=newhop(t);
% --------------------------generate rand noise------------------
for i=2:11
for j=2:9
a=rand;
if a<=0.1
one(i,j)=-one(i,j);
two(i,j)=-two(i,j);
end end
endnoise_one=one
noise_two=two
% -------------------------plot noise figure----------------------------
subplot(2,3,2)
imshow(imresize(noise_one,20))
title('noise number')
subplot(2,3,5)
imshow(imresize(noise_two,20))
title('noise number')
% ------------------------plot identify figure---------------------------
noise1=;
tu1=sim(net,,{},noise1);
tu1'
subplot(2,3,3)
imshow(imresize(tu1',20))
title('identify number')
noise2=;
tu2=sim(net,,{},noise2);
tu2'
subplot(2,3,6)
imshow(imresize(tu2',20))
title('identify number')
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