8.22
問題描述： 在任務排程，常常會用到圖。其中節點應用於任務，任務i到j的有向邊表示i是j的先期條件。這樣的圖描述了排程問題中的任務先後關係（約束） 。顯然，乙個排程是可行的當且僅當該圖無環；如果排程不可行，我們需要使其無環所需的最小約束數量。
給定乙個有向圖g =（v，e），子集e'⊆e稱為乙個反饋弧集，反饋弧集是指將其移除後，將使得g無環。
反饋弧集（fas）：給定乙個有向圖g =（v，e）和預算b，求包含不超過b條邊的反饋弧集合——如果這樣的集合存在。
（a）證明 fas是np的
（b）證明，如果g包含乙個大小b頂點覆蓋，然後g' 包含反饋弧集尺寸b.
然後，認為g必須包含乙個頂點覆蓋的大小相同的莫迪fied反饋弧集。）
證明：a) 顯然 fas 是可在多項式時間內驗證的，因此屬於np。
b) 設g
的乙個大小為b
的頂點覆蓋為c
，對於任意頂點vi∈
c ，設其在g
' 中相對應的頂點為wi和wi
'，則將邊(wi,wi
') 新增到e
'。對c
中的每個頂點都這樣處理後，所得到的邊集e
'即是g
' 的乙個大小為b
的feedback arc set。因為對於頂點wi和wi
'，當去掉邊(wi,wi
')後，所有與w i相連的邊都不可能位於任何乙個環中，因為w i不存在出邊，同樣，所有與wi
'相連的邊也不可能位於任何乙個環中，因為wi
' 不存在入邊。
c) 對於g
中的任意一條邊(vi ,
vi』)，設其在g
' 中相對應的頂點為wi
,wi
'、w j、
wj ' ，相對應的邊為(
wi ,
wi ')
、( wj,
wj ')、(
wi ',
wj) 、(
wj ',
wi)。若
e '是
g' 的乙個大小為
b 的feedbackarc set，顯然，在這四條邊中至少有一條邊
e屬於e '，否則就會形成環，而邊
e必然有個端點屬於 。若
wi 是
e 的端點，則將
vi加入到
c ，否則將
vj 加入到
c 。容易看出，在經過上述處理後，
c 即是
g 的乙個大小不超過
b 的頂點覆蓋。
《演算法概論》習題8 22
題目 在任務排程中，常常會用到圖。其中節點對應任務，任務i到任務j的有向邊表示i是j的先期條件。這樣的圖描述了排程問題中的任務先後關係 約束 顯然，乙個排程是可行的當且僅當該圖無環 如果排程不可行，我們需要求使其無環所需的最小約束數量。給定乙個有向圖g v,e 子集e e稱為反饋弧集合是指 將其移除...
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