1 直線和線段設 x
1≠x2
為rn 空間中的兩個點，那麼具有下列形式的點 y=
θx1+
(1−θ
)x2,
θ∈r
組成一條穿越x1
和x2 的直線。如果θ∈
[0,1
] ,就構成了x1
和x2 之間的閉線段。
2 仿射集合
如果通過集合c⊆
r 中任意兩個不同點的直線仍在集合中，那麼集合
c 是仿射的。
這個概念可以擴充套件到多個點的狀況，如果θ1
+⋯+θ
k=1，我們稱具有θ1
x1+⋯
+θkx
k 形式的點為x1
,⋯xk
的仿射組合。
根據仿射集合的定義，如果
c 是乙個仿射集合，x1
,⋯xk
∈c,且θ
1+⋯+
θk=1
，那麼θ1
x1+⋯
+θkx
k 仍然在
c 中。
3 凸集 集合c
被稱為凸集，如果
c 中任意兩點間的線段都在
c中，即對於任意x1
,x2∈
c 和滿足0≤
θ≤1 的
θ 都有 θx
1+(1
−θ)x
2∈c
簡單的可以理解成，集合中任意兩個點之間的路徑都包含在集合裡。
集合中所有點的凸組合的集合叫做凸包，記co
nvc
conv
c=凸包是包含
c 最小的凸集。
上圖是凸包的（來自斯坦福boyd convex optimization）
左圖為一些點的凸包，右圖為腎型的凸包。
4 錐對於任意x∈
c和θ≥
0 都有θx
∈c,我們稱集合
c 為錐或者非負齊次。
錐可以直觀的理解為從原點到各個點的輻射的直線組成的集合。
上圖的三條直線可以認為是錐，對於任意直線上點x1
,x2,
x3來說，滿足上述錐的定義。
如果集合
c 是錐，並且是凸的，即對於任意x1
.x2∈
c和θ1
,θ2≥
0 有： θ1
x1+θ
2x2∈
c 此時這個集合既是乙個錐，又是凸的，稱為凸錐。
在二維上，凸錐構成了二維的扇形。
（來自斯坦福boyd convex optimization） 集合c
的錐包是
c中所有元素的錐組合的集合。即 ,
這是包含
c 最小的凸錐。
（來自斯坦福boyd convex optimization）
下面介紹一些常用的凸集，這些凸集將在以後經常用到。
1超平面與半空間
超平面是有以下形式的集合：
其中：a∈r
n,a≠
0 且b∈
r 。
從幾何上講，我們可以理解為超平面法線方向為
a ,常數b∈
r決定了超平面到原點的偏移。超平面將rn
劃分成兩個半空間。半空間是具有下列形式的集合：
超平面既是凸的，又是仿射的；
（來自斯坦福boyd convex optimization）
半空間是凸的。
（來自斯坦福boyd convex optimization）
2 euclid 球和橢球rn
空間中的euclid 球（簡稱球）形式如下： b(
xc,r
)==
還可以表達為： b(
xc,r
)=ε=
橢球的另外一種常見的表示形式是： ε=
其中a 是非奇異的方陣，我們一般假設
a對稱正定，且a=
p−1 ,這時此表示方式和上一種表示方式一致。
球和橢球都是凸的。
3 範數球和範數錐
範數球可以如下定義，設∥⋅
∥ 是rn
中的範數，則範數球：
範數球是上面euclid球的推廣，同樣是凸的。
範數錐的定義如下： c=
⊆rn+
1 範數錐是個凸錐。
這個圖是二維
的。
這個圖是二維
的。4 多面體
多面體定義為有限個線性等式和不等式的解集：p=
多面體是有限個半空間和超平面的交集。多面體是乙個凸集。
多面體還可以表示為： p=
其中： a=
⎡⎣⎢⎢
⎢at1
⋮atm
⎤⎦⎥⎥
⎥,c=
⎡⎣⎢⎢
⎢ct1
⋮ctp
⎤⎦⎥⎥
⎥,5 半正定錐
我們用s
n 表示對稱n×
n 矩陣的集合，這個集合是乙個維數為n(n+1)/2的向量空間。我們用sn
+ 表示對稱半正定矩陣的集合 sn
+= 用
sn++
= 表示對稱正定矩陣的集合。sn
+ 和sn
++集合都是凸錐。
(未完，待續)
數學優化與凸集3（斯坦福凸優化筆記3）
本節介紹一些保凸運算，用於將上一節介紹的基本凸集構造出其他凸集。1 交集 交集是保凸的。無窮個凸集的交集也是凸的。2 仿射函式 仿射函式 如果乙個函式有f rn r m 能表示成乙個線性函式和乙個常數的和的形式 即f x a x b 其中a rm n b r m 乙個凸集通過仿射變換仍然是凸的。反向...
斯坦福凸優化課程Video2 4
如果兩個集合是可分離的凸集那麼可以滿足下面的條件。在這個條件下，我們畫出的影象是這樣的 可以看到，如上圖所示的，如果可以用一條直線，超平面，將兩個集合劃分開來，那麼稱兩個集合為可分離集合。也同時可以稱，直線 x a tx b 可以分離c和d。支援超平面是滿足方程 的x0是集合c的邊界點 如果c是凸的...
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