斜率優化dp HDU3507

世界真的很大

上週學了斜率優化dp，慚愧昨天才搞懂，花了一天整理了一下思緒總結如下：

許多樸樹的dp轉移方程可以寫成 f[i]=f[j]+w[i] 的格式，這就意味著i的決策僅僅取決於j的決策優劣，可以由單調佇列把n^2優化到n，這裡不贅述。

但更多的轉移方程並不能化簡成如下格式，比如這道hdu3507：

先敘述下題意，給出乙個陣列，將其分為幾組，每一組算出其和的平方加上給定數m，將每一組的值求和然後輸出，求最小值。

提意明確，列出狀態轉移方程：

f[i]=f[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2

注意，這個方程並不能用單調佇列解決，因為i的決策不僅取決於j，還取決於(sum[i]-sum[j])^2，這就無法對f進行單調佇列儲存。

對方程進行數學處理，假定j和k，在決策i時，j比k優：

dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2＜dp[k]+m+(sum[i]-sum[k])^2

直接開啟消元得出：

dp[j]+sum[j]^2-2*sum[i]*sum[j]＜ dp[k]+sum[k]^2-2*sum[i]*sum[k]

移項相除得：

dp[j]+sum[j]^2-(dp[k]+sum[k]^2)/2*(sum[j]-sum[k])＜sum[i]

仔細一看的話，左邊就是乙個只關於j，k的斜率表示式了。定義左邊為g(j,k)＜sum[i]的話，說明在決策i時，j比k優，那麼可以單調佇列來維護斜率，最小的斜率最優且在對首。

為什麼可以這樣呢？再解釋一遍。

因為我們發現，在比較決策i時的前驅決策j，k誰優時，得到了乙個關乎斜率的等式g(j,k)，g(j,k)＜sum[i]時，說明j比k優，就是說，凡是斜率比g(j,k）小，那一定沒有sum[i]大，如g(a,b）＜g(b,c）＜g(c,d）….＜g(j,k）＜sum[i],那就是a沒有b優，b沒有c優。。。如果用單調斜率的佇列，就可以瞬間排除j以前的選項，排除選項，即為優化。

現在我們的單調佇列維護的就是斜率的單調遞增了，在決策i時，凡是對首斜率比sum[i]小的，都可以直接彈出去，因為不優，如上解釋，每次隊首一定是最優的，因為後面的都大於sum[i]了，不滿足g(h,h+1)

bool check_h(int i)

隊尾的話直接按graham-scan(古來哈姆–斯侃胡）的方法維護下凸的凸包就行了，但注意的是，我們維護的不是整個凸包而是零碎的小節，**：

bool check_t(int i)

x和y分別是之前數學證明裡的分子和分母，因為太長了就寫成了函式，如下：

int x(int u,int v)
int y(int u,int v)

完整**如下：

#include
int sum[500050],f[500050],h,t,n,m,state[500050];
intx(int u,int v)
inty(int u,int v)
bool check_h(int i)
bool check_t(int i)
int main()
h=1,t=1,state[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d\n",f[n]);
}return
0;}

恩，就是這樣；

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