在數學中有許多空間表示，比如歐幾里德空間、賦範空間、希爾伯特空間等。這些空間之間有什麼關係呢？
首先要從距離的定義說起。
什麼是距離呢？實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離如σn
i=1x
i⋅yi
−−−−−−−−√
、 曲面距離、折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果、香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。距離就是乙個抽象的概念，其定義為：
設x是任一非空集，對x中任意兩點x,y，有一實數d(x,y)與之對應且滿足：
1. d(x,y)
≥0，且d(x,y)=0當且僅當x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y)
≤d(x,z)+d(z,y)。
稱d(x,y)為x中的乙個距離。
定義了距離後，我們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而形成乙個線性空間，這個線性空間就是向量空間。
在向量空間中，我們定義了範數的概念，表示某點到空間零點的距離：
1. ||x||
≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||
≤||x||+||y||。
將範數與距離比較，可知，範數比距離多了乙個條件2，數乘的運算，表明其是乙個強化了的距離概念。範數與距離的關係可以類似理解為與紅富士蘋果與蘋果的關係。
接下來對範數和距離進行擴充套件，形成如下：
範數的集合
⟶線性賦範空間
距離的集合
⟶線性度量空間
下面在已經構成的線性賦範空間上繼續擴充套件，新增內積運算，使空間中有角的概念，形成如下：
線性賦範空間+內積運算
⟶ 內積空間；
這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是我們熟悉的歐氏空間。
繼續在內積空間上擴充套件，使得內積空間滿足完備性，形成希爾伯特空間如下：
內積空間+完備性
⟶ 希爾伯特空間
其中完備性的意思就是空間中的極限運算不能跑出該空間，如有理數空間中的2√
屬於無理數，並不在有理數空間，故不滿足完備性。乙個通俗的理解是把學校理解為乙個空間，你從學校內的宿舍中開始一直往外走，當走不動停下來時（極限收斂），發現已經走出學校了（超出空間），不在學校範圍內了（不完備了）。希爾伯特就相當於地球，無論你怎麼走，都還在地球內（飛出太空除外）。
此外，前面提到的賦範空間，使其滿足完備性，擴充套件形成巴拿赫空間如下：
賦範空間+完備性
⟶ 巴拿赫空間
以上均是在距離的概念上進行新增約束形成的，遞增關係如下： 距離⟶
內積 向量空間+範數
⟶希爾伯特空間
內積空間+有限維
⟶歐幾里德空間
賦範空間+完
備性⟶巴拿赫空間
順便提以下，對距離進行弱化，保留距離的極限和連續概念，就形成拓撲的概念。
數學符號Span的含義
span的概念比較好理解，就是若干個向量通過線性組合得到的乙個向量空間 滿足向量空間的所有要求 span列向量是矩陣中所有的列span成的空間。s為一向量空間v 附於體f 的子集合。所有s的線性組合構成的集合，稱為s所張成的空間，記作span s 在數學分支線性代數之中，向量空間中乙個向量集的線性生...
Oracle中空間字段建立索引
建立表 create table testspatial id varchar2 20 not null,name varchar2 100 address varchar2 200 telephone varchar2 50 location sdo geometry 插入資料 insert in...
演算法 離散數學中 和 的含義
這裡介紹離散數學中兩個重要的函式，即底函式和頂函式。令x為實數。底函式把x下捨入到小於或等於x又最接近x的整數，而頂函式則把x上捨入到大於或等於x又最接近x的整數。在統計物件個數時常使用這兩個函式。在分析解一定規模的問題的計算機過程使用的步數時，這兩個函式起著重要的作用。定義 底函式指派給實數x的是...