濾波器有四種表示形式：差分方程、脈衝函式、傳輸函式和頻率響應。其中前兩個是定義在實數域中，後兩個定義在複數域中。
首先看一下離散傅利葉變換的定義。
我們由濾波器的差分形式退出濾波器的頻率響應形式。假設有濾波器的差分方程為： σn
k=0a
ky[n
−k]=
σmk=
0bkx
[n−k
] 對每一項進行離散傅利葉變換，得到： a0
y(ω)
+a1e
−jωy
(ω)+
a2e−
j2ωy
(ω)+
⋯+an
e−jn
ωy(ω
)=b0
x(ω)
+b1e
−jωx
(ω)+
b2e−
j2ωx
(ω)+
⋯+bm
e−jm
x(ω)
得到： h(
ω)=y
(ω)x
(ω)=
b0+b
1e−j
ω+b2
e−j2
ω+⋯+
bme−
jma0
+a1e
−jω+
a2e−
j2ω+
⋯+an
e−jn
ω 稱h
(ω) 為濾波器的頻率響應。h(
ω)是複數，可以用極座標形式表示h(
ω)=|
h(ω)
|ejθ
(ω) ，
|h(ω
) 表示濾波器在數字頻率
ω 處的增益，θ(
ω)是相位差。
正弦輸入：
現在把余弦（或正弦）訊號(頻域上的)寫成簡寫形式，方便在頻域中計算。比如輸入x[
n]=a
cos(
nω0+
θx) 的x(
ω)可以記作a|
θx。假設在頻率ω0
下，頻率響應的增益為
h ，相位差為
θ，那麼頻率響應可以簡寫成h|
θ ，那麼dft的相乘現在很容易計算： y(
ω)=h
(ω)x
(ω)=
(h|θ
)(a|
θx)=
ha|θ
+θx
而且很容易再轉換到實數域上： y[
n]=h
acos(n
ω0+θ
+θx)
幅度響應和相位響應
幅度響應是增益|h
(ω)|
和ω之間的關係圖，相位響應是相位差θ(
ω)和|om
ega 之間的關係圖。頻率響應可以用幅度響應和相位響應表示。
注意，所有的幅度響應都是週期為2π
的偶函式；所有的相位響應都是週期為2π
的奇函式。所以兩個響應圖的自變數範圍只需要在[0
,π] 上就可以表示所有情況。
濾波器的形狀由幅度響應給出，幅度響應說明了濾波器的型別，如低通、高通、帶通、帶阻。
但是給定濾波器的頻率響應h(
ω)，我們是沒有辦法畫出它的幅度響應曲線的。那怎麼判斷濾波器的型別呢？可以通過極零點位置確定濾波器的形狀。假設濾波器的傳輸函式為： h(
z)=k
(z−z
0)(z
−p0)
(z−p
1)其中
k 是增益，zj
是零點，pj
是極點，那麼濾波器的形狀為： |h
(ω)|
=k|e
jω−z
0||e
jω−p
0||e
jω−p
1|=k
×(半徑
為1的上
半圓上ω
對應的點
到z0的
距離)(
半徑為1
的上半圓
上ω對應
的點到p
0的距離
)(半徑
為1的上
半圓上ω
對應的點
到p1的
距離)
當極點和零點比較靠近單位圓時，會導致幅值大小的劇烈變化，標明濾波器的選擇性比較好。
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論高通濾波器，帶阻濾波器，陷波濾波器
首先，對一副影象進行如下二維傅利葉變換。我們將u 0和v 0帶上式，我們可以得到如下式子。根據上式，可以到f 0,0 的值是非常大的。這裡，我們將 f 0,0 稱為直流分量，直流分量比其他的成分要大好幾個數量級。所以，這也就是傅利葉譜為什麼需要使用對數變換才能看清楚的原因。這裡，對於高通濾波器而言，...