簡介
牛頓迭代法（簡稱牛頓法）由英國著名的數學家牛頓爵士最早提出。但是，這一方法在牛頓生前並未公開發表。
牛頓法的作用是使用迭代的方法來求解函式方程的根。簡單地說，牛頓法就是不斷求取切線的過程。
對於形如f(x)=0的方程，首先任意估算乙個解x0，再把該估計值代入原方程中。由於一般不會正好選擇到正確的解，所以有f(x)=a。這時計算函式在x0處的斜率，和這條斜率與x軸的交點x1。
f(x)=0中精確解的意義是，當取得解的時候，函式值為零（即f(x)的精確解是函式的零點）。因此，x1比x0更加接近精確的解。只要不斷以此方法更新x，就可以取得無限接近的精確的解。
但是，有可能會遇到牛頓迭代法無法收斂的情況。比如函式有多個零點，或者函式不連續的時候。
牛頓法舉例
下面介紹使用牛頓迭代法求方根的例子。牛頓迭代法是已知的實現求方根最快的方法之一,只需要迭代幾次後就能得到相當精確的結果。
首先設x的m次方根為a。
下面程式使用牛頓法求解平方根。
[cpp]view plain
copy
const
float
eps = 0.00001;
intsqrt(
double
x) while
(abs(result - lastvalue) > eps);
return
(double
)result;
}
更快的方法
文獻2提到了比上述程式更快的求解平方根的非典型牛頓迭代法。介紹如下。
2023年12月，美國id software公司發布了名為「雷神之鎚iii」的電子遊戲。它是第乙個支援軟體加速的遊戲，取得了極大成功。（由於影響力過大，文化部於2023年將它列入了非法遊戲名單）
雷神之鎚iii並不是id software公司的第一次成功。早在2023年開始，這家公司就以「毀滅戰士」系列遊戲名聞天下。2023年，「毀滅戰士」的安裝數超過了當年微軟的windows 95。據傳比爾蓋茨才曾經考慮買下id software。（id software公司後來被推出過「上古卷軸」系列的bethesda公司買下）
id software所取得的成功很大程度上要歸功於它的創始人約翰·卡馬克。馬克爾也是乙個著名的程式設計師，他是id software遊戲引擎的主要負責人。 回到剛才提到的雷神之鎚，馬克爾是開源軟體的積極推動者，他於2023年公布了雷神之鎚iii的源**。至此人們得以通過研究這款遊戲引擎的原始檔來檢視它成功的秘密。
在其中乙個名字為q_math.c的檔案中發現了如下**段。
[cpp]view plain
copy
float
q_rsqrt(
float
number )
這段**的作用就是求number的平方根，並且返回它的倒數。
經過測試，它的效率比上述牛頓法程式要快幾十倍。也比c++標準庫的sqrt()函式要快好幾倍。此段**有乙個奇怪的句子：
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the ****?
這句話的注釋是「what the ****?」，翻譯過來就是「我靠？」
任何受過程式訓練的人看到這句大概都會在想，這句話到底在搞什麼鳥？
之所以會出現這種奇怪的注釋，要麼是此段程式的作者（可能是馬克爾）根本不知道該如何解釋清楚，或者是維護這段程式的程式設計師完全看不懂這句話，所以有點兒抓毛。而實際上，它的作用（再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )這句牛頓迭代）就是求平方根。
至於是為什麼，本博主也不知道。
以雷神之鎚iii程式為藍本可以寫出比sqrt()更強大的求平方根函式：
[cpp]view plain
copy
intsqrt(
float
x)
參考文獻:
1.wikipedia.org
2.
牛頓迭代法
創新工廠的筆試題 不用庫函式sqrt 求乙個整型數n的開方，要求精度達到0.001即可。在這裡首先介紹一下牛頓迭代法 假設乙個方程為 f x 0 那麼假設其解為x0，則用泰勒級數展開之後可得 f x f x0 f x0 x x0 0 其中x為其近似解。根據上式推導出 x x0 f x0 f x0 這...
牛頓迭代法
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牛頓迭代法
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