兩字串最長公共子串行動態規劃

首先碰到求兩字串最長公共連續子串的問題，然後想到原先做過的求兩字串最長公共子串行問題，所以又把演算法導論上的解法看了一下。

這兩個問題是不同的問題，求最長公共子串行不要求求得的子字串時連續的，比如說acb和ab的最長公共子串行就是ab。而最長公共連續子串，要求求得的子串在兩個字串中必須是連續出現的，還是acb和ab他們的最長公共子串是a或者是b。這裡說的是求兩字串的最長公共子串行，用的是動態規劃。

動態規劃求解最優化問題應該具備的兩個要素：最優化子結構和子問題重疊。我的理解就是碰到問題先看看能不能把大問題化解為小問題解決，這就是我對最優子結構的理解。子問題重疊意思就是說，你在求子問題的時候一些工作是重複做了，看看能不能想辦法避免以下。

對於動態規劃的運用我還不是很熟練，但我在碰到問題時往往是這樣做的：先判斷原先的問題能不能化解為小問題，如果能化為小問題的話，怎麼求解，試著寫一下（遞推）公式。如果遞推公式寫成功了的話，恰巧符合動態規劃求解。自然而然就可以應用動態規劃了。動態規劃的應用最主要的就是寫出遞推公式。

下面言歸正傳，求兩個字串的最長公共子串行。借用演算法導論上的表示方法，給定乙個字串x=（下劃線後面的數字表示下標），另乙個字串y=，求x和y的最長公共子串行。同時我們用x_i表示x中前i個字元構成的字串x_i = ，用y_j表示y紅前j個字元構成的字串y_j = 。

現在就想怎麼把問題變為為小問題呢？怎麼解決這個問題呢？

關鍵要找到問題的突破口，先不要管最終解決，先想一想怎麼吧問題花姐的規模小一些。我先分別拿兩個字串的最後乙個字元「開刀」，先拿他們比較

1）我們可以首先比較x_m和y_n如果這兩個字元相同，那麼x_m = y_n一定是最長公共子串行中的乙個字元。那麼我們的問題就是求x_(m-1) = 和y_(n-1) = 的最長公共子串行了。如果能求出x_(m-1)和y_(n-1)的最長公共子串行，這個子串行在加上字元x_m = y_n就是我們所求問題的最長公共子串行了。

2）如果x_m ！= y_n，我們要求x和y的最長公共最序列，就轉為求兩個子問題，乙個是求x_m和y_(n-1)的最長公共子串行，另乙個是求x_(m-1)和y_n的最長公共子串行。取兩者中最長的那個就是問題的解。

至此，大問題就化為小問題的，具體我們可以寫遞推公式。

假如用c[i,j]表示x_i和y_j序列的最大公共子串行的長度的話

c[i,j] = 0 如果i == 0或者j == 0

c[i,j] = c[i - 1][j - 1] 如果x_j == y_j

c[i,j] = max(c[i-1,j], c[i, j-1]) 如果x_i ！= y_j

有了遞推公式，定義對應遞推公式的陣列，就可以求得最終的答案。

#include#include#includeusing namespace std;
int max(const int& a, const int& b) 
//模板函式用來輸出二維陣列
templatevoid print_vector(const vector>& vec) 
cout << endl;	}}
//getlcs函式用來求兩個字串的最大公共子串行，並返回其長度
int getlcs(const string& str1, const string& str2)
size_t len1 = str1.size();
size_t len2 = str2.size();
//lcs用來儲存兩字串str1[0,...,row]和str1[0,...,col]的最長公共序列的長度
vector> lcs(len1 + 1, vector(len2 + 1, 0));
//index用來儲存如何找到最長公共子串行
vector> index(len1 + 1, vector(len2 + 1, '-'));
for(size_t row = 0; row != len1 + 1; row++) 
if(str1[row - 1] == str2[col - 1]) 
if(str1[row - 1] != str2[col - 1]) 
else 
}}	}
cout << "lcs vector is " << endl;
print_vector(lcs);
cout << "index vector is " << endl;
print_vector(index);
return lcs[len1][len2];
}int main(void)

兩字串最長公共子串行 動態規劃

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