最小圓覆蓋演算法

演算法目的

演算法步驟：

①首先現將所有點隨機排列

②按順序把點乙個乙個的加入（一步一步的求前i個點的最小覆蓋圓），每加入乙個點就進入③

③如果發現當前i號點在當前的最小圓的外面，那麼說明點i一定在前i個點的最小覆蓋圓邊界上，我們轉到④來進一步確定這個圓，否則前i個點的最小覆蓋圓與前i-1個點的最小覆蓋圓是一樣的，則不需要更新，返回②

④此時已經確認點i一定在前i個點的最小覆蓋圓的邊界上了，那麼我們可以把當前圓的圓心設為第i個點，半徑為0，然後重新把前i-1個點加入這個圓中（類似上面的步驟，只不過這次我們提前確定了點i在圓上，目的是一步一步求出包含點i的前j個點的最小覆蓋圓），每加入乙個點就進入⑤

⑤如果發現當前j號點在當前的最小圓的外面，那麼說明點j也一定在前j個點（包括i）的最小覆蓋圓邊界上，我們轉到⑥來再進一步確定這個圓，否則前j個點（包括i）的最小覆蓋圓與前i-1個點（包括i）的最小覆蓋圓是一樣的，則不需要更新，返回④

⑥此時已經確認點i，j一定在前j個點（包括i）的最小覆蓋圓的邊界上了，那麼我們可以把當前圓的圓心設為第i個點與第j的點連線的中點，半徑為到這兩個點的距離（就是找乙個覆蓋這兩個點的最小圓），然後重新把前j-1個點加入這個圓中（還是類似上面的步驟，只不過這次我們提前確定了兩個點在圓上，目的是求出包含點i，j的前k個點的最小覆蓋圓），每加入乙個點就進入⑦

⑦如果發現當前k號點在當前的最小圓的外面，那麼說明點k也一定在前k個點（包括i，j）的最小覆蓋圓邊界上，我們不需要再進一步確定這個圓了（因為三個點能確定乙個圓！），直接求出這三點共圓，否則前k個點（包括i，j）的最小覆蓋圓與前k-1個點（包括i，j）的最小覆蓋圓是一樣的，則不需要更新。

時間複雜度：o(n)

空間複雜度：o(n)

複雜度證明：空間複雜度顯然，下面來證時間複雜度

首先，因為我們已經將點打亂順序，所以我們可以認為點是隨機生成的

我們知道，當點完全隨機時，第i個點在前i-1個點的最小覆蓋圓外的機率是3/i

證明：我們先隨機生成i個點，求出他們的最小覆蓋圓，我們可以認為這個圓是由現在在邊界上的那三個點來確定的，也就是說當隨機生成的最後乙個點不是那三個點時，新生成的點就在圓內，否則在圓外，所以第i個點在前i-1個點的最小覆蓋圓外的概率只有3/i

所以o(

②)=∑

i=1i

≤n(i

−3i∗

o(1)

+3i∗

o(④)

) 而

o(④)

=∑i=

1i≤n

(i−3

i∗o(

1)+3

i∗o(

⑥))

易知o(

⑥)=o

(n)

所以可以推出，這個做法是線性的

注意事項:

以上時間複雜度的證明全部基於點的排列隨機，如果點的排列不隨機，那麼時間複雜度將有可能達到o(

n3)

所以最小圓覆蓋演算法只能在o(n)時間內求出n的點的最小覆蓋圓，而不能在o(n)的時間內求出所有的前i個點的最小覆蓋圓

下面是一段給定n個點求最小覆蓋圓圓心及半徑的**(bzoj1336/1337)

#include
#include
#include
#include
#include
#define n 100010
using namespace std;
struct nodeb[n];
node o;
double r;
double s
qr(double x)
double dis(node x,node y)
bool incircle(node x)
node solve(double a,double b,double c,double d,double e,double f);}
int main()}}
printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf",r,o.x,o.y);
}

最小圓覆蓋演算法

最小圓覆蓋

最小圓覆蓋

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