問題敘述：
vlsi晶元測試
diogenes教授有n個被認為是完全相同的vlsi晶元，原則上它們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片晶元 時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。乙個好的晶元總是能夠報告另一片的好壞，但乙個壞的晶元的結果是不可靠的。這樣，每次測試的四種可能結果如下：
a晶元報告 b晶元報告 結論
b是好的 a是好的 都是好的，或都是壞的
b是好的 a是壞的 至少一片是壞的
b是壞的 a是好的 至少一片是壞的
b是壞的 a是壞的 至少一片是壞的
a）證明若多於n/2的晶元是壞的，在這種成對測試方法下，使用任何策略都不能確定哪個晶元是好的。假設壞的晶元可以聯合起來欺騙教授。
b）假設有多於n/2的晶元是好的，考慮從n片中找出一片好晶元的問題。證明n/2對測試就足以使問題的規模降至近原來的一半。
c）假設多於n/2片晶元是好的，證明好的晶元可用θ(n)對測試找出。給出並解答表示式測試次數的遞迴式。
注：vlsi——very large scaleintegrated.
演算法分析：
a）採用窮舉法，將任何一片晶元與其它所有晶元進行比較，因為有多於n/2的晶元是壞的，且壞的晶元可以聯合起來欺騙教授，則測試結果是不可靠的，無法判斷出該晶元是好是壞。
b）假設：設有a個好的晶元數，b個壞的晶元數，z對測試結果為全好的測試對，其中晶元全為好的測試對為x，晶元全為壞的測試對為y，x+y=z。
二分測試思想：
1.隨機的兩兩配對，則共有⌊n/2⌋對，分別測試。
2.根據問題描述：如果測試結果為一好一壞，或者兩壞，那麼把這對丟棄；如果測試結果為兩好，那麼隨意丟棄其中乙個，留下乙個（若n為奇數，則剩餘乙個芯 片沒有配對。若z為奇數，丟棄這個晶元；若z為偶數（0也看做偶數），留下這個晶元）。這樣操作後，留下的好晶元數一定還是大於壞的晶元數的，且經過⌊n/2⌋對測試後，原問題的規模降低了近一半。
3.重複第2步，當n<=2時，就只剩下了好的晶元。
證明：測試結果為一好一壞或者兩壞的晶元對中至少一片是壞的，把這對丟棄能保證剩下的晶元中好晶元的數量仍大於壞晶元的數量。
測試結果為全好的，這對晶元有可能全為好，有可能全為壞，隨意丟棄其中乙個，留下 乙個。設好晶元的對數為x，壞晶元的對數為y。考慮n的情況：
若n為偶數，則x>y，所以留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若n為奇數，則剩餘乙個沒有配對的晶元。考慮z的情況：
若z是奇數，則x>y，丟棄這個晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若z是偶數，考慮這個晶元的情況：
若晶元是好的，則x>=y，留下這個好的晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若晶元是壞的，則x-y>=2，留下這個壞的晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數。
綜上所述，留下的好晶元數一定還是大於壞的晶元數的。
c）採用b中的操作方法，遞迴式為：f(n) = f(n/2) + n/2。這個遞迴式符合主定理中的第三種情況，所以好的晶元可用θ(n)對測試找出。
應用：
1.主元素：
何謂主元素？具體講，如果乙個陣列
a[1..n]
中超過半數的元素都相同時，該陣列被稱為含有乙個主元素。(a)
設計乙個有效演算法，確定該陣列中是否含有乙個主元素，如果有，找出這個元素。(b)
能否給出乙個線性時間演算法？
注意，該陣列的元素之間可能不存在順序
——即不能進行
」a[i]的大小判斷，但是可以進行是否相等的判斷。普通的演算法即需要2個
for迴圈，算出每個數字的個數，這比較簡單，這裡不再給出，時間複雜度為o(n^2)。
首先來看看如果可以比較大小：
平均時間複雜度為線性o(n)，基於分治法的線性時間求主元素演算法。演算法思想中位數：數列排序後位於最中間的那個數。如果乙個數列有主元素,那麼必然是其中位數。求乙個數列有沒有主元素，只要看中位數是不是主元素。找中位數的方法:選擇乙個元素作為劃分起點，然後用快速排序的方法將小於它的移動到左邊，大於它的移動到右邊。這樣就將元素劃分為兩個部分。此時，劃分元素所在位置為k。如果k>n/2，那麼繼續用同樣的方法在左邊部分找；如果k平均時間複雜度為o(n)的時間內找出乙個數列的中位數，但最壞時間複雜度o(n^2)。然後再用o(n)的時間檢查它是否是主元素。。c語言原始碼如下：
int partition(int a,int low,int high)
if(low++low;
if(lowa[high]=a[low];
--high;
}
}
a[low]=pivotkey;
return low;}
//快排
void quick_sort(int a,int low,int high)
}
int main()
for(int i=1;i<=n;i++)
quick_sort(a,1,n);
int count=0;
for(int i=1;i<=n;i++)//中位數個數
if(count > n / 2)
printf("有主元素為 %d 出現了 %d 次\n",mid,count);
else
printf("無主元素\n");
system("pause");
}
下面來看如果不可以比較大小只可以比較是否相等的情況：
下面來看看如果無序，不能比較大小的演算法，具體思想就是
「在乙個集合中，刪除兩個不同的數，則集合的主元素保持不變。
」根據這個原理，可以很快求出主元素。只有最後剩下的元素才可能是主元素。
#include
int getmainelement(int a,int len)
else
}
return mainelement;
}
int main()
mainelement = getmainelement(a,len);
for(i = 0;iif(mainelement == a[i])
flagcount++;
}
if(flagcount>len/2)
printf("%d\n",mainelement);
else
printf("none\n");
}
return 0;
}
2.有n個人，其中某些人是誠實的，某些人可能會說謊。現在需要進行一項調查，該調查由一系列測試構成。每次測試如下進行：選2個人，然後提問：對方是否誠實？每個人的回答只能是「是」或者「否」。假定在這些人中，所有誠實的人回答都是正確的，而其他人的回答則不能肯定是否正確。如果誠實的人數》n/2，試設計乙個調查演算法，以最小的測試次數從其中找出乙個誠實的人。
分治法之晶元測試
最近在看演算法導論時，看到了這道晶元測試的題，想了很久，總結一下我的思路 diogenes教授有n個被認為是完全相同的vlsi晶元，原則上它們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片晶元時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。乙個好的晶元總是能夠報告另一片的好壞，但乙個壞的晶...
晶元測試的分析（蠻力 分治）
說明 第一行 假設 a 是好的，那麼 b 是好的，則 a，b 都是好的。假設 a 是壞的，那麼 b 的報告結果不正確，那麼 b 就也是壞的，則 a，b 都是壞的。第二行 假設 a 是好的，那麼 b 的報告結果不正確，那麼 b 就也是壞的，此時一好一壞。假設 a 是壞的，b 的結果顯示 a 是壞的，但...
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