最近在看演算法導論時，看到了這道晶元測試的題，想了很久，總結一下我的思路
diogenes教授有n個被認為是完全相同的vlsi晶元，原則上它們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片晶元時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。乙個好的晶元總是能夠報告另一片的好壞，但乙個壞的晶元的結果是不可靠的。這樣，每次測試的四種可能結果如下：
a晶元報告
b晶元報告
結論b是好的
a是好的
都是好的，或都是壞的
b是好的
a是壞的
至少一片是壞的
b是壞的
a是好的
至少一片是壞的
b是壞的
a是壞的
至少一片是壞的
a）證明若多於n/2的晶元是壞的，在這種成對測試方法下，使用任何策略都不能確定哪個晶元是好的。假設壞的晶元可以聯合起來欺騙教授。
b）假設有多於n/2的晶元是好的，考慮從n片中找出一片好晶元的問題。證明n/2對測試就足以使問題的規模降至近原來的一半。
c）假設多於n/2片晶元是好的，證明好的晶元可用θ(n)對測試找出。給出並解答表示式測試次數的遞迴式。
當兩個晶元都報告是好的，如果其中乙個a是壞的，因為另乙個b說a是好的，所以b也是壞的
當兩個晶元的報告一好一壞時：
說對方好的那個晶元一定是壞的：假設a說b是好的，b說a是壞的，若a是好的，則b是好的，那麼b說a是壞的就自相矛盾了，所以a一定是壞的。
說對方壞的那個晶元可能是好的，也可能是壞的：經過上面的分析，a一定是壞的，那麼a說的就不可信（可能是對的可能是錯的），那麼b說a是壞的，b好的壞的都有可能
當兩個晶元的報告都是壞的時：
首先不可能兩個都是好的
若乙個是好的：假設a是好的，則a說b是壞的，成立；b是壞的，所以還不管b的說辭
兩個都是壞的，就無所謂他們說啥了
對於問題a，採用窮舉法，將任何一片晶元與其它所有晶元進行比較，因為有多於n/2的晶元是壞的，且壞的晶元可以聯合起來欺騙教授，則測試結果是不可靠的，無法判斷出該晶元是好是壞。
對於問題b和c，先假設：設有a個好的晶元數，b個壞的晶元數，z對測試結果為全好的測試對，其中晶元（注意這裡是晶元全為好的，不是測試結果為好的）全是好的測試對為x，晶元全為壞的測試對為y，x+y=z。
這裡先說明一下前提：好晶元比壞晶元至少多1片！（以下例子，想不明白可以假設總共有4片或者6片晶元）
一、隨機的兩兩配對，則共有⌊n/2⌋對，分別測試。
二、根據問題描述：
（1）如果測試結果為一好一壞，或者兩壞，那麼把這對丟棄：
（3）這裡要考慮晶元為奇數的情況：
這樣操作後，留下的好晶元數一定還是大於壞的晶元數的，且經過⌊n/2⌋對測試後，原問題的規模降低了近一半（解決了問題(b)）。
三、 重複第（二）步，當n<=2時，就只剩下了好的晶元。
因為始終是好晶元數多於壞晶元數，那麼當n<=2時，就只有好的晶元了
總結：
測試結果為一好一壞或者兩壞的晶元對中至少一片是壞的，把這對丟棄能保證剩下的晶元中好晶元的數量仍大於壞晶元的數量。
測試結果為全好的，這對晶元有可能全為好，有可能全為壞，隨意丟棄其中乙個，留下 乙個。
設好晶元的對數為x，壞晶元的對數為y。考慮n的情況：
若n為偶數，則x>y，所以留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若n為奇數，則剩餘乙個沒有配對的晶元。考慮z的情況：
若z是奇數，則x>y，丟棄這個晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若z是偶數，考慮這個晶元的情況：
若晶元是好的，則x>=y，留下這個好的晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數；
若晶元是壞的，則x-y>=
2，留下這個壞的晶元，這樣留下的好晶元數還是大於壞的晶元數。
綜上所述，留下的好晶元數一定還是大於壞的晶元數的。
f(n) = f(n/2) + n/2。這個遞迴式符合主定理中的第三種情況，所以好的晶元可用θ(n)對測試找出。
四、**實現
class
test
; system.out.
println
(arrays.
tostring
(getright
(arr,arr.length)))
;}//定義乙個測試平台，來模擬題幹中的測試裝置，好的晶元輸出對的，壞的晶元隨機輸出
public
static
boolean
judge
(int x,
int y)
else
if(x ==
1^ y ==1)
else
return result;
}//返回乙個正確的晶元
public
static
int[
]getright
(int
arr,
int length)
return z;
}//這裡用陣列儲存選出來的晶元，陣列定義為最壞情況下的長度，其它情況陣列後邊可能有多餘的位數
//所以用length來標明陣列中的有效長度
int[
] tmp =
newint
[length /2+
1];boolean
result = null;
//這個陣列用來接收測試結果
int point =0;
//記錄選出來的晶元個數
//晶元兩兩為一組，進行測試
for(
int i =
0; i < length-
1; i +=2)
}//考慮總個數為奇數的情況
if(length %2==
1)}//遞迴，繼續兩兩進行測試，直到晶元個數少於3個
return
getright
(tmp,point);}
}
晶元測試的分析（蠻力 分治）
說明 第一行 假設 a 是好的，那麼 b 是好的，則 a，b 都是好的。假設 a 是壞的，那麼 b 的報告結果不正確，那麼 b 就也是壞的，則 a，b 都是壞的。第二行 假設 a 是好的，那麼 b 的報告結果不正確，那麼 b 就也是壞的，此時一好一壞。假設 a 是壞的，b 的結果顯示 a 是壞的，但...
晶元測試及其應用（分治典例）
問題敘述 vlsi晶元測試 diogenes教授有n個被認為是完全相同的vlsi晶元，原則上它們是可以互相測試的。教授的測試裝置一次可測二片，當該裝置中放有兩片晶元 時，每一片就對另一片作測試並報告其好壞。乙個好的晶元總是能夠報告另一片的好壞，但乙個壞的晶元的結果是不可靠的。這樣，每次測試的四種可能...
分治法之棋盤覆蓋
一 問題描述 在乙個2k x 2k 即 2 k x 2 k 個方格組成的棋盤中，恰有乙個方格與其他方格不同，稱該方格為一特殊方格，且稱該棋盤為一特殊棋盤。在棋盤覆蓋問題中，要用圖示的 4種不同形態的 l型骨牌覆蓋給定的特殊棋盤上除特殊方格以外的所有方格，且任何2個 l型骨牌不得重疊覆蓋。二 演算法思...