方差與協方差

方差是實際值與期望值（均值）之差平方的平均值，衡量的是一組資料對於其期望值的離散程度。d(

x)=∑

k=1∞

[xk−

e(x)

]2pk

其中e(

x)是x的期望值，p=

pk,k

=1,2

,...

是x的分布律。d(

x)=∫

∞−∞[

x−e(

x)]2

f(x)

dx其中f(x)是x的概率密度。

由數學期望的性質展開，上面兩式都可得到 d(

x)=e

(x2)

−[e(

x)]2

在概率論和統計學中，協方差用於衡量兩個變數的總體誤差。而方差是協方差的一種特殊情況，即當兩個變數是相同的情況。期望值分別為e[x]與e[y]的兩個隨機變數x與y之間的協方差cov(x,y)定義為： co

v(x,

y)=e

=e[x

y]−e

[x]e

[y]

當 cov(x, y)>0時，表明 x與 y 正相關；

當 cov(x, y)<0時，表明 x與 y 負相關；

當 cov(x, y)=0時，表明 x與 y 不相關。

協方差的絕對值越大，則二個變數相互影響越大。ρx

y=co

v(x,

y)d(

x)−−

−−−√

d(y)

−−−−

−√ 若

ρxy=

0 ，則稱x與y不線性相關。 即ρ

xy=0

的充分必要條件是cov(x，y)=0，亦即不相關和協方差為零是等價的。d(

x±y)

=d(x

)+d(

y)±2

cov(

x,y)

特別的，當x，y是兩個不相關的隨機變數則d(

x±y)

=d(x

)+d(

y)

方差與協方差

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