假設只有有限多個素數， 比如k個， 2，3，5，7，……，pk。然後尤拉說：我們令
.設k個素數沒有乙個能整除m， 因為他們都能整除m-1， 於是必定有另乙個素數整除m，或許m本身就是個素數， 這兩種可能都與我們假設僅有2，3，5，7……，pk，這k個素數相矛盾。
定理歐幾里得數， 此序列的前面的一些數是
這些全部都是素數， 但是下面的乙個e5是1807=13*139， 而e6=3263443又是素數， 然而e7,e8……e17又是合數， 而剩下的en可能是素數也可能是合數。
但是歐幾里得數都是互素的， 也就是說：
.歐幾里得演算法用僅僅三步就告訴我們這一結論， 因為當n>m時有en mod em = 1:
.這樣一來， 我們設qj是ej的最小 素數因子， 則素數q1,q2,q3……全是不相同的。這樣是乙個無窮多個素數的序列。
我們現在來考慮歐幾里得數， 我們能否將en表示成封閉形式？
.這樣en的十進位制位數大致就是en-1的2倍。
存在常數e≈1.264，使得：
.還有乙個類似的公式
.在這裡的兩個等式不能真的看成是封閉的等式，因為常數e,p是以某種隱蔽的方式從數字en,pn中計算出來的。
到現在我們還沒有完全回答開始的問題， 一共有多少個素數，這裡確實有無窮多個， 但是有一些無限集合
更加稠密
稠密：關於稠密我們有兩個觀念
在正整數中有無窮多個正偶數和無窮多個完全平方數，但是在正常的觀念下偶數的個數是多於完全平方數的
（1）. 我們比較各自的第n個數， 第n個偶數的值是2n， 而第n個完全平方數的值是n^2顯然在n>2 的情況下 2n > n^2 ；所以我們可以得到在n>4的情況下正偶數的密度是大於完全平方數的
（2）.類似我們觀察不大於x的數中， 正偶數和完全平方數的個數。不大於x的數中正偶數的個數是（int）（x/2）, 不大於x的數中完全平方數的個數是（int）（sqrt（x））；
· 有了上文的概念我們可以近似的求解一下素數的稠密度：
事實上：第n個素數pn大約是n的自然對數的n倍，即
.對上式化簡， 可以得到近似的素數定理：
.在這裡n或者x的取值只有在趨近於+∞的情況下才能得到， 所以我們可以採用乙個更加精確的界限 ..
數論 素數測試
檢查乙個正整數是否是素數稱作素數測試。基本素數判別法 正整數n是素數，當且僅當它不能被任何乙個小於根號n的素數整除 埃拉託斯尼斯篩法 先把n個自然數按次序排列起來。1不是 質數，也不是 合數，要划去。第二個數2是 質數留下來，而把2後面所有能被2 整除的數都劃去。2後面第乙個沒劃去的數是3，把3留下...
數論之 素數
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