link cut tree簡稱lct，是維護動態樹方式的一種，是乙個可以對樹進行新增鏈或子樹，刪除鏈或子樹等等，可以支援對樹的結構進行修改的演算法。
樹鏈剖分只能維護靜態樹，就是只能對樹上的點的值進行修改的演算法，一般還是用線段樹來維護的。
所以lct就厲害了，首先是維護方式不同，其次它是用splay來維護的。樹鏈剖分可以幹的，lct都可以幹，但lct可以幹的，樹鏈剖分有些並不能幹。而且lct短啊！
學習lct，必須要有splay的基礎。如果還不會splay，請看splay學習小記
首先要知道一些概念。
現在有一棵樹，它需要維護，我們稱其為原樹。
splay本身其實乙個樹形結構，我們稱其為輔助樹。
我們用輔助樹來維護原樹，注意這是兩顆不同的樹。
類似樹鏈剖分維護重鏈，lct需要維護的是偏愛路徑
剛開始我學習lct看網上的資料時，一直看不懂，偏愛路徑到底是什麼。經歷了好長的一番摸索。
我們首先來講什麼是偏愛兒子。偏愛兒子就是你最後訪問到的節點。比如說圖1access之前的樹(先不要管access是什麼)，我們先不斷的加點進去，比如說加入了乙個點o，那麼這個點就是偏愛節點。簡單的來說最後訪問到的點就是當前你要對這個點進行操作，那麼這個點就是偏愛節點。(如果還不是很清楚，講到access就清楚了)。
偏愛節點到根的路徑就是偏愛路徑。
偏愛路徑上的邊叫做偏愛邊。
節點x上第一條邊不為偏愛邊的連線點叫做path parent。比如說圖1中access之前的樹，l的path parent就是i。用pfa陣列來表示。
splay中每個x有兩個子節點，t[x][0]和t[x][1]。
序列中的splay是左兒子的序號比x小，右兒子的序號大於x。所以在樹上的情況類似：左兒子在樹中的深度小於x，右兒子在樹中的深度大於x。有deep[x]表示節點的深度，在樹上splay維護的條件就是deep[t[x][0]]≤deep[x]≤deep[t[x][1]]。
將根節點到x的路徑變為偏愛路徑
這個過程名叫access，是lct中的核心。如圖1，access（n）之後，a到n的路徑就變成了偏愛路徑。
但是，為什麼其他路徑上還保留著偏愛邊呢，不是含有最後訪問的節點的路徑才是偏愛路徑嗎？
其實lct為了方便維護，更新偏愛路徑並不會把原來所有的偏愛路徑刪去，只會修改原來偏愛路徑最與path parent相連線的那一條邊而已。並不是只有最後乙個節點的那一條路徑有偏愛邊，只是那一條到的路徑全都是偏愛邊及偏愛路徑（仔細地研究圖一的後面那張圖，因為輔助樹只要deep[t[x][0]]≤deep[x]≤deep[t[x][1]]就可以了，所以與path parent相連線的頂點不一定是深度最小的節點）。
一般只有對某個節點x進行操作就需要打access(x)。
void access(int x)lca=y;
}
access的思路就是：跟著pfa一直往上跳，一直跳到pfa為0且這個節點是當前輔助樹的根節點就停止。其實就是將偏愛路徑一直向上延伸，知道無法延伸為止。所以建立根節點到x節點的偏愛路徑結束之後，根節點並不一定是原來的根節點，就是根節點可能會變換。假設當前的root=u，access(x)之後，root可能變為了v,這一點很重要，會關係到後面操作的理解。
access需要好好的理解一番……
我們來分析一下，splay(x,0)就是把x旋轉為它所在的這顆樹上的根節點（這就體現了把原來偏愛邊保留的優勢了）。因為有splay，所以這顆樹的root會變。
然後就要把當前x與右兒子的連邊斷開，因為access(x)是讓1到x的路徑為偏愛路徑，x的子樹上的邊都不在偏愛路徑中。因為t[x][1]的深度比x大，所以把連邊刪掉。pfa[t[x][1]]=x，因為現在x現在與是t[x][1]斷開了連線，那麼pfa[t[x][1]]=x，x與t[x][1]之間的連邊成為t[x][1]上第一條不為偏愛邊的邊。
然後把x與y進行連邊，這個y初始為0，看看最後一行 y=x,x=pfa[x]，所以之後y會變為x，x會變成pfa[x]，那麼這裡的連邊就是把x和pfa[x]進行連邊。
然後把pfa[y]清零，可見這有當x為這顆偏愛邊組成的子樹(這顆子樹的偏愛邊可以為0)的根節點時才會有path parent。如圖1的後面那張圖，只有細邊下面的點才會與path parent，其他點(包括根節點)的path parent都為0。
然後在更新x的值就好了。
換根操作
void makeroot(int x)bz[x]^=1是什麼意思呢？
因為換了根之後，原來的根節點到x的深度都會進行翻轉。所以要打乙個標記。
但是翻轉之後不會影響別的節點嗎？
不會，因為access(x)之後，對根節點到x的路徑上的點操作，只有根節點到x的路徑上的點會被影響到。
旋轉
void rotate(int x)
void splay(int x,int y)
}
不過這裡rotate要注意乙個問題，因為旋轉時會影響pfa，所以要更新pfa。
不會詳見splay學習小記
標記下傳
void down(int x)
}void remove(int x,int y)while(x!=y);
while(d[0])down(d[d[0]--]);
}
更新節點的值
void update(int x)連線兩顆子樹
乙個節點也把他當做乙個子樹。
void link(int x,int y)x一定要為當前那棵樹的根節點才能連線，否則可能原本就有父親，一連就錯了。
斷開兩個節點的連邊
void cut(int x,int y)找到原來的父親
int getfa(int x)對樹中x節點到y節點進行操作
例如求極值。
方法1《推薦》
int find(int x,int y)方法2
int find(int x,int y)
}
插入或刪掉x到y的一條鏈
原理很簡單，就像序列上的插入修改一樣，找到x的兒子和y的兒子，然後，把x到y這段區間旋轉到一棵子樹上，然後斷去連邊就好了。不會詳見splay學習小記
由於用的不多就不貼標了。
翻轉與旋轉
這些操作都類似序列上的操作。不會詳見splay學習小記
翻轉上面講過了。
目前也只知道這麼多了，但是這些操作在大部分題目中都夠用了。
樹的統計
染色魔法森林
Link Cut Tree學習小記
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