凸包問題的五種解法

首先，什麼是凸包？

假設平面上有p0~p12共13個點，過某些點作乙個多邊形，使這個多邊形能把所有點都「包」起來。當這個多邊形是凸多邊形的時候，我們就叫它「凸包」。如下圖：

然後，什麼是凸包問題？

我們把這些點放在二維座標系裡面，那麼每個點都能用 (x,y) 來表示。

現給出點的數目13，和各個點的座標。求構成凸包的點？

時間複雜度：o(n³）。

思路：兩點確定一條直線，如果剩餘的其它點都在這條直線的同一側，則這兩個點是凸包上的點，否則就不是。

步驟：將點集裡面的所有點兩兩配對，組成 n(n-1)/2 條直線。

對於每條直線，再檢查剩餘的 (n-2) 個點是否在直線的同一側。

如何判斷乙個點 p3 是在直線 p1p2 的左邊還是右邊呢？（座標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

當上式結果為正時，p3在直線 p1p2 的左側；當結果為負時，p3在直線 p1p2 的右邊。

時間複雜度：o(n㏒n)。

思路：應用分治法思想，把乙個大問題分成幾個結構相同的子問題，把子問題再分成幾個更小的子問題……。然後我們就能用遞迴的方法，分別求這些子問題的解。最後把每個子問題的解「組裝」成原來大問題的解。

步驟：把所有的點都放在二維座標系裡面。那麼橫座標最小和最大的兩個點 p1 和 pn 一定是凸包上的點（為什麼呢？用反證法很容易證明，這裡不詳講）。直線 p1pn 把點集分成了兩部分，即 x 軸上面和下面兩部分，分別叫做上包和下包。

對上包：求距離直線 p1pn 最遠的點，即下圖中的點 pmax 。

作直線 p1pmax 、pnpmax，把直線 p1pmax 左側的點當成是上包，把直線 pnpmax 右側的點也當成是上包。

重複步驟 2、3。

對下包也作類似操作。

然而怎麼求距離某直線最遠的點呢？我們還是用到解一中的公式：

設有乙個點 p3 和直線 p1p2 。（座標：p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p3(x3,y3)）

對上式的結果取絕對值，絕對值越大，則距離直線越遠。

注意：在步驟一，如果橫座標最小的點不止乙個，那麼這幾個點都是凸包上的點，此時上包和下包的劃分就有點不同了，需要注意。

時間複雜度：o(nh)。（其中 n 是點的總個數，h 是凸包上的點的個數）

思路：

注意：找第二個點 p1 時，因為已經找到的只有 p0 乙個點，所以向量只能和水平線作夾角 α，當 α 最小時求得第二個點。

時間複雜度：o(n㏒n)

思路：graham掃瞄的思想和jarris步進法類似，也是先找到凸包上的乙個點，然後從那個點開始按逆時針方向逐個找凸包上的點，但它不是利用夾角。

步驟：把所有點放在二維座標系中，則縱座標最小的點一定是凸包上的點，如圖中的p0。

把所有點的座標平移一下，使 p0 作為原點，如上圖。

計算各個點相對於 p0 的幅角 α ，按從小到大的順序對各個點排序。當 α 相同時，距離 p0 比較近的排在前面。例如上圖得到的結果為 p1，p2，p3，p4，p5，p6，p7，p8。我們由幾何知識可以知道，結果中第乙個點 p1 和最後乙個點 p8 一定是凸包上的點。

（以上是準備步驟，以下開始求凸包）

以上，我們已經知道了凸包上的第乙個點 p0 和第二個點 p1，我們把它們放在棧裡面。現在從步驟3求得的那個結果裡，把 p1 後面的那個點拿出來做當前點，即 p2 。接下來開始找第三個點：

連線p0和棧頂的那個點，得到直線 l 。看當前點是在直線 l 的右邊還是左邊。如果在直線的右邊就執行步驟5；如果在直線上，或者在直線的左邊就執行步驟6。

如果在右邊，則棧頂的那個元素不是凸包上的點，把棧頂元素出棧。執行步驟4。

當前點是凸包上的點，把它壓入棧，執行步驟7。

檢查當前的點 p2 是不是步驟3那個結果的最後乙個元素。是最後乙個元素的話就結束。如果不是的話就把 p2 後面那個點做當前點，返回步驟4。

最後，棧中的元素就是凸包上的點了。

以下為用graham掃瞄法動態求解的過程：

說真的，這個演算法我也還沒有看清。網上的資料也少的可憐，我暫且把網上的解釋截個圖在這裡，往後搞懂以後再回來補上。

或者有人看懂了的，希望不吝指教，不甚感激！

以上討論的只是二維的凸包，如果延生為三維、多維的凸包問題呢？如何求解？

不過首先，二維凸包可以用來解決圍欄問題、城市規劃問題、聚類分析等等。但是三維、多維的凸包可能的使用範疇有哪些？

附：尋找凸包的graham演算法

#include

using namespace std;

/*pointset：輸入的點集

ch：輸出的凸包上的點集，按照逆時針方向排列

n：pointset中的點的數目

len：輸出的凸包上的點的個數

*/struct point

;//小於0,說明向量p0p1的極角大於p0p2的極角

float multiply(point p1,point p2,point p0)

float dis(point p1,point p2)

void graham_scan(point pointset,point ch,int n,int &len)

len=top+1;

}const int maxn=1010;

point pointset[maxn];

point ch[maxn];

int n;

int len;

int main()

if(r > rmax)

}if(rmax <= 0)

}return;

}else

getresult(resultpack,x1,y1,pack[tmax][0],pack[tmax][1]);

getresult(resultpack,pack[tmax][0],pack[tmax][1],x2,y2);

}void main()

else

if(x3 > x2)

}g_result[1][0] = x1;

g_result[1][1] = y1;

g_result[2][0] = x2;

g_result[2][1] = y2;

g_result[0][0] += 2;

getresult(point, x1, y1, x2, y2);

getresult(point, x2, y2, x1, y1);

printf("\n\n構成凸包的點有：\n");

for(i=1;i<=g_result[0][0];i++)

printf("(%d,%d)\n",g_result[i][0],g_result[i][1]);

system("pause");

}

凸包問題的五種解法

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