面試中，topk，是問得比較多的幾個問題之一，到底有幾種方法，這些方案裡蘊含的優化思路究竟是怎麼樣的，今天和大家聊一聊。
問題描述：
從arr[1, n]這n個數中，找出最大的k個數，這就是經典的topk問題。
栗子：
從arr[1, 12]= 這n=12個數中，找出最大的k=5個。
一、排序
排序是最容易想到的方法，將n個數排序之後，取出最大的k個，即為所得。
偽**：
sort(arr, 1, n);
return arr[1, k];
時間複雜度：o(n*lg(n))
分析：明明只需要topk，卻將全域性都排序了，這也是這個方法複雜度非常高的原因。那能不能不全域性排序，而只區域性排序呢？這就引出了第二個優化方法。
二、區域性排序
不再全域性排序，只對最大的k個排序。
冒泡是乙個很常見的排序方法，每冒乙個泡，找出最大值，冒k個泡，就得到topk。
偽**：
for(i=1 to k){
bubble_find_max(arr,i);
return arr[1, k];
時間複雜度：o(n*k)
分析：冒泡，將全域性排序優化為了區域性排序，非topk的元素是不需要排序的，節省了計算資源。不少朋友會想到，需求是topk，是不是這最大的k個元素也不需要排序呢？這就引出了第三個優化方法。
三、堆
思路：只找到topk，不排序topk。
先用前k個元素生成乙個小頂堆，這個小頂堆用於儲存，當前最大的k個元素。
接著，從第k+1個元素開始掃瞄，和堆頂（堆中最小的元素）比較，如果被掃瞄的元素大於堆頂，則替換堆頂的元素，並調整堆，以保證堆內的k個元素，總是當前最大的k個元素。
直到，掃瞄完所有n-k個元素，最終堆中的k個元素，就是猥瑣求的topk。
偽**：
heap[k] = make_heap(arr[1, k]);
for(i=k+1 to n){
adjust_heap(heep[k],arr[i]);
return heap[k];
時間複雜度：o(n*lg(k))
畫外音：n個元素掃一遍，假設運氣很差，每次都入堆調整，調整時間複雜度為堆的高度，即lg(k)，故整體時間複雜度是n*lg(k)。
分析：堆，將冒泡的topk排序優化為了topk不排序，節省了計算資源。堆，是求topk的經典演算法，那還有沒有更快的方案呢？
四、隨機選擇
隨機選擇算在是《演算法導論》中乙個經典的演算法，其時間複雜度為o(n)，是乙個線性複雜度的方法。
這個方法並不是所有同學都知道，為了將演算法講透，先聊一些前序知識，乙個所有程式設計師都應該爛熟於胸的經典演算法：快速排序。
畫外音：
（1）如果有朋友說，「不知道快速排序，也不妨礙我寫業務**呀」…額...
（2）除非校招，我在面試過程中從不問快速排序，預設所有工程師都知道；
其偽**是：
void quick_sort(intarr, int low, inthigh){
if(low== high) return;
int i = partition(arr, low, high);
quick_sort(arr, low, i-1);
quick_sort(arr, i+1, high);
其核心演算法思想是，分治法。
分治法有乙個特例，叫減治法。
二分查詢binary_search，bs，是乙個典型的運用減治法思想的演算法，其偽**是：
int bs(intarr, int low, inthigh, int target){
if(low> high) return -1;
mid= (low+high)/2;
if(arr[mid]== target) return mid;
if(arr[mid]> target)
return bs(arr, low, mid-1, target);
else
return bs(arr, mid+1, high, target);
從偽**可以看到，二分查詢，乙個大的問題，可以用乙個mid元素，分成左半區，右半區兩個子問題。而左右兩個子問題，只需要解決其中乙個，遞迴一次，就能夠解決二分查詢全域性的問題。
通過分治法與減治法的描述，可以發現，分治法的複雜度一般來說是大於減治法的：
快速排序：o(n*lg(n))
二分查詢：o(lg(n))
話題收回來，快速排序的核心是：
i = partition(arr, low, high);
這個partition是幹嘛的呢？
顧名思義，partition會把整體分為兩個部分。
更具體的，會用陣列arr中的乙個元素（預設是第乙個元素t=arr[low]）為劃分依據，將資料arr[low, high]劃分成左右兩個子陣列：
以上述topk的陣列為例，先用第乙個元素t=arr[low]為劃分依據，掃瞄一遍陣列，把陣列分成了兩個半區：
partition返回的是t最終的位置i。
很容易知道，partition的時間複雜度是o(n)。
畫外音：把整個陣列掃一遍，比t大的放左邊，比t小的放右邊，最後t放在中間n[i]。
partition和topk問題有什麼關係呢？
topk是希望求出arr[1,n]中最大的k個數，那如果找到了第k大的數，做一次partition，不就一次性找到最大的k個數了麼？
畫外音：即partition後左半區的k個數。
問題變成了arr[1, n]中找到第k大的數。
再回過頭來看看第一次partition，劃分之後：
i = partition(arr, 1, n);
畫外音：這一段非常重要，多讀幾遍。
這就是隨機選擇演算法randomized_select，rs，其偽**如下：
int rs(arr, low, high, k){
if(low== high) return arr[low];
i= partition(arr, low, high);
temp= i-low; //陣列前半部分元素個數
if(temp>=k)
return rs(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大
else
return rs(arr, i+1, high, k-i); //求後半部分第k-i大
這是乙個典型的減治演算法，遞迴內的兩個分支，最終只會執行乙個，它的時間複雜度是o(n)。
再次強調一下：
通過隨機選擇（randomized_select），找到arr[1, n]中第k大的數，再進行一次partition，就能得到topk的結果。
五、總結
topk，不難；其思路優化過程，不簡單：
TopK大問題的另一種解法
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