問題簡述：有一揹包，最大體積是10，有三個物品，體積分別是3,4,5，重量分別是4,5,6，求在不超過揹包體積的前提下，所放物品的最大重量是多少。
答：最大重量是11，選擇的物品是2和3，其體積是9，小於揹包體積10
我們已經知道，對於0-1揹包問題，我們可以使用動態規劃進行解決。
定義f(i,j):把前i個物品裝入體積為j的揹包中的最大重量
那麼：f(i,j)=max
根據該方程，我們可以用下面的程式解決上述問題：
#include #include #include #include using namespace std;
int main()
; // 體積
int w[4] = ; // 重量
int f[11][11];
memset(f,0,sizeof(f));
// f(i,j):把前i個物品裝到容量是j的揹包中的最大總重量
// f(i,j)=max
// 一定要牢記：我們要計算的是：f(3,10) ！！！ 什麼意思？對我們來講，11*11的陣列，只有f(3,10)對我們來講是有意義的，其它的空間能省則省。^_^
for (int i=1; i<=3; i++)
} }
// 輸出
for (int i=0; i<=3; i++)
printf("\n"); }
printf("the only answer we need is %d\n",f[3][10]);
}
對這個答案我們滿意嗎？
如果從最終答案的角度來講，可以接受，畢竟我們得出了想要的解。可是，當資料量很大的時候，比如有m個物品，揹包體積是n，那麼我們需要定義陣列為f[m][n]，其空間複雜度為o(m*n)。而誠如我們所說過的那樣，我們僅僅想知道的是揹包能裝下的最大重量（不要求列印方案），即f[n][m]的值，那麼，有必要申請n*m的陣列嗎？或者說，有無方法可以降低空間複雜度呢？答案是有的，即滾動陣列。
觀察上圖，除最後一行外，其餘資料是多餘的.....
由f(i,j)=max，我們可以簡化為f(j)=max
程式如下：
#include #include #include #include using namespace std;
int main()
; // 體積
int w[4] = ; // 重量
int f[11];
memset(f,0,sizeof(f));
// f(j):容量是j的揹包中的最大總重量
// f(j)=max
for (int i=1; i<=3; i++)
}// 輸出
for (int j=0; j<=10; j++)
printf("\n"); }
printf("the only answer we need is %d\n",f[10]);
}
為什麼計算時要逆序列舉？計算順序所決定！請看下圖：
如當i=1時，f(10)=max=max=max=4
即f(10)依賴的是f(10)和f(7)的值，需要注意的是，此時的f(10)和f(7)是i=0時的f(10)和f(7)，如果使用二維陣列儲存，無需擔心覆蓋問題，對體積的列舉逆序或正序都可，但是如果使用一維陣列，若正序列舉會先計算f(7)，那麼，再計算f(10)時，i=0時的f(7)已被覆蓋矣！
0 1揹包使用滾動陣列壓縮空間
所謂滾動陣列，目的在於優化空間，從上面的解法我們可以看到，狀態轉移矩陣使用的是乙個n v的陣列，在求解的過程中，我們可以發現，當前狀態只與前一狀態的解有關，那麼之前儲存的狀態資訊已經無用了，可以捨棄的，我們只需要空間儲存當前的狀態和前一狀態，所以只需使用2 v的空間，迴圈滾動使用，就可以達到跟n v...
01揹包 1維 滾動陣列
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揹包九講 01揹包問題（dp 滾動陣列）
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