01揹包滾動陣列的簡單理解

前言：覺得二進位制很nb，想學狀態壓縮，可是不會動態規劃，連揹包都不會的那種，從頭開始吧！

0.問題:給定一組物品，每種物品都有自己的重量wi(i=1,2,3…n)和**vi(i=1,2,3…,n)，在限定的總重量(w)內，我們如何選擇，才能使得物品的總**最高。

1.初始化：我們定義dp[i][j]表示在揹包容量為j時從0到編號為i的物品所能裝進揹包的最大價值，從最簡單的情況開始,dp[i][0] (](i=0,1,…,n-1)表示在揹包容量為0時前i個物品所能裝進揹包的最大價值,很明顯全部的值都是0，因為此時無法裝下任何物品.

for

(int i=
1;i<=n;i++
)dp[i][0
]=0;

for

(int j=
0;j<=w;j++
)

隨便問乙個dp[i][j]是多少，我們知道它表示在揹包容量為j時前i個物品所能裝進揹包的最大價值。如果第i個物品沒有被裝進去，那麼dp[i][j]=dp[i-1][j],如果第i個被裝進去,dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i],表示在揹包容量為j時前i個物品所能裝進揹包的最大價值為在揹包容量為i-1時前j-w[i]個物品所能裝進揹包的最大價值再加上第i個物品本身的價值。注意現在dp[i-1][j-w[i]]並不是表示把第i-1個物品去掉，而是這個狀態的最大價值，它可以是有i-1或沒有i-1個物品的！

不會吧不會有人真的這麼想吧好吧之前的我。

for

(int i=
1;i<=n;i++
)

for

(int i=
1;i<=n;i++
)

如果第一層迴圈走到了i-1,那麼我們可以仍然把陣列看成是dp[i-1][…],從dp[i-1][w],一直更新到dp[i-1][0]。然後我們讓dp[j] (j=w,w-1,…,2,1,0)=dp[i-1][j] (j=w,w-1,…,2,1,0) 第i-1層走完之後到了第i層，那麼現在開始來更新第乙個數dp[i][w]了。它會等於max(dp[i-1][w],dp[i-1][w-w[i]+v[i]),也就是上一層的答案全部被保留下來被第i層使用了。

dp[i]

[w]=
max(dp[i-1]
[w],dp[i-1]
[w-w[i]
]+v[i])=
max(dp[w-w[i]
],dp[w-w[i]
]+v[i]
)

接著還有乙個小問題：為什麼遍歷j的時候會反向遍歷呢？如果還是正向遍歷，那麼先用二維的dp觀察一下:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]) //（*式），

翻譯成dp陣列就是:

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])//(#式）

到了後面某乙個j=j+w[i]的時候，我們想要的是:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j]+v[i])

用dp表示：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]）=max(dp[j],dp[j]+v[i])

可是！你發現了嗎？在本來和（*式）作用相同的（#式）中，我們把dp[j]更換成了dp[i][j]的意義，替換了原來的dp[i-1][j]的意義，相當於原來的dp[i-1][j]的值都被dp[i][j]覆蓋了，等dp[i][j]要用的時候它只能用dp[i][j]去更新自己 但它要的是dp[i-1][j]啊。所以這個陣列就全亂套了。

反向遍歷更新有什麼好處?

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]),即

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，我們先更新大的dp[j]，它捷足先登把比它小的代表dp[i-1][j]含義的dp[j]給用了再說，現在dp[j]被更新成dp[i][j]的含義也沒有任何關係，因為等一下只有比它小的jj需要被更新，那個時候絕對用不著它了，因為

dp[jj]=max(dp[jj],dp[jj-w[i]]+v[i]),dp[jj]用到的dp[jj-w[i]]的jj-w[i]一定是比j小的（無聊的說明）。

01揹包 1維 滾動陣列

這裡先說一下二維的。01揹包 設物品有n件物品，揹包容量為w int w 代表n件物品的價值 int pw 代表n件物品各佔的容量 int f n 50 w 50 最優解二維陣列 f i j 陣列 代表存i件物品在容量為j的揹包中得到的價值 void package 01 printf d n f ...

揹包九講 01揹包問題（dp 滾動陣列）

現在有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是cost i 價值是value i 每個物品最多只能選一次，求解在不超過揹包容量的限制下，如何選取物品組合能使收益最大化？題型有兩種，一種要求揹包恰好放滿，一種不要求揹包恰好放滿 現在考慮第二種題型，即不要求揹包恰好放滿 將問題分解成子問題 有i...

0 1揹包使用滾動陣列壓縮空間

所謂滾動陣列，目的在於優化空間，從上面的解法我們可以看到，狀態轉移矩陣使用的是乙個n v的陣列，在求解的過程中，我們可以發現，當前狀態只與前一狀態的解有關，那麼之前儲存的狀態資訊已經無用了，可以捨棄的，我們只需要空間儲存當前的狀態和前一狀態，所以只需使用2 v的空間，迴圈滾動使用，就可以達到跟n v...