整數劃分總結

整數劃分問題：

籠統上說就是將一根整數劃分成若干個整數之和的方案數。整數劃分很多不同的問法，也有隱晦的問法。比如n個蘋果放到m個盤子裡，比如n個磚塊堆成m個層階梯。關於整數劃分，大概有以下這麼多擴充套件的問題：

1，整數n劃分成若干整數之和的方案數；

2，整數n劃分成k個整數之和的方案數；

3，整數n劃分成最大數不超過k的若干整數之和的方案數；

4，整數n劃分成最小數不低於k的若干整數之和的方案數；

5，整數n劃分成若干不同的整數之和的方案數；

6，整數n劃分成k個不同整數之和的方案數；

7，整數n劃分成最大數不超過k的若干不同整數之和的方案數；

8，整數n劃分成最小數不低於k的若干不同整數之和的方案數；

9，整數n劃分成若干奇數的方案數；

10，整數n劃分成若干偶數的方案數；

這麼多問題乙個乙個解決，其實解決其中乙個問題，相關聯的也迎刃而解。首先看第二個問題，為什麼不看第乙個問題呢？很簡單仔細思考一下，列舉所有的k不就是第乙個問題的解嘛。第二個問題的狀態轉移方程式引入dp2表示整數i分成j個整數的方案數

memset(dp2,0,sizeof(dp2));
dp2[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
}

怎麼去解釋這個狀態轉移方程呢？你可以把整數i分成j個整數之和看成i個蘋果放到j個盤子裡，不允許有空盤子。j個盤子，可以分成兩種狀態，所有盤子裡最小的蘋果數等於1，和大於1。等於1的情況，把這個最小蘋果數的盤子拿掉，dp[i][j]=dp[i-1][j-1];若最小數大於1，那麼把所有j的盤子都拿去乙個蘋果，dp[i][j]=dp[i-j][j]。那麼第乙個問題就也解決了。

現在看第三個問題，最大數不超過k的劃分數

memset(dp3,0,sizeof(dp3));
dp3[0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)
}

解釋這個狀態轉移方程：dp[i][j]表示i分成最大數不超過j的劃分數。dp[i][j]可以分成以下兩類：

1.最大數等於j；

2.最大數小於j；

對於第二種情況，滿足劃分條件的是dp[i][j-1],表示數i分成最大數不超過j-1的劃分數，那就是數i分成最大數小於j的劃分數。第一種情況，滿足劃分條件的是dp[i-j][j];dp[i-j][j]表示數i-j分成最大數不超過j的劃分數，然後將『+j』附加在每乙個劃分後面，就得到數分成最大數等於j的劃分數。那麼dp[i-j][j]的劃分數就等於dp[i][j]的劃分。

那麼看一到例題吧

poj 1664 放蘋果

其實，放蘋果問題，因為可以允許有空盤子，乙個盤子裡的蘋果最多不超過k個盤子數，所以這個問題就可以轉換成數i分成最大數不超過k的劃分數

貼一下ac**吧

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
int dp[15][15];
int n,m;
void fun()
}}int main()
}

第三個問題解決之後，也可以解決第乙個問題了，就是把最大數不超過k的k從1到n列舉一下就可以了。

第四個問題和第三個問題很相似，

先看狀態轉移方程

memset(dp4,0,sizeof(dp4));
for(int i=0;i<=n;i++)
dp4[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
}

同樣的，dp[i][j]可以分成兩大類

1.最小數等於j；

2.最小數大於j;

滿足第二個情況的劃分條件是dp[i][j+1],表示數i分成最小數大於j的情況。滿足第乙個情況的劃分條件是dp[i-j][j],表示i-j的最小數不小於j的劃分，然後將『+j』附加在每乙個劃分後面，就得到數i分成最小數等於j的劃分。同理列舉k可以得出第乙個問題的解

第五個問題，到這裡可以看出前四個是乙個型別，後面四個是另乙個型別，後面多出乙個要求，就是要求不同的數字。同理第五個問題是由第六個，七個，八個問題求解出來。

那麼直接看第六個問題，這裡我們和前面的聯絡起來看，因為只多了乙個數字不同的條件

先看狀態轉移方程

memset(dp6,0,sizeof(dp6));
dp6[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
}

可以看出和第二個問題狀態轉移方程的區別就是一點，dp[i][j-1]變成dp[i-j][j-1]。這裡我們不用放蘋果，我們用i個磚塊堆成有j個階次的階梯，階梯要求不能有相鄰兩個是同樣的高度

狀體轉移方程可以描述為，把階梯最底層的一層磚塊全部拿掉，階梯要麼還是不變的階數，要麼階數少了一階。

所以dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-j][j-1];

第五個問題直接列舉j就好了。

這裡有一道例題，就是明白著的問題六

hoj 1090

第七個問題，直接看狀態轉移方程

memset(dp7,0,sizeof(dp7));
dp7[0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)
}

和問題四的區別就是dp[i-j][j]變成了dp[i-j][j-1]

同樣的問題分成兩類，第二類是不變的dp[i][j-1],第一類變成了dp[i-j][j-1],對於第一類，dp[i-j][j-1]表數i-j分成最大數不超過j-1的劃分數，也就是i-j分成最大數小於j，將『+j』附加在每個劃分後面，得到數i分成最大數等於j的劃分。這樣就避免了有重複的，因為dp[i-j][j]表示最大數不超過j，就有等於j的情況，那麼再加上j就有重複的情況了。

第八個問題，就應該很好理解了

附**

memset(dp8,0,sizeof(dp8));
for(int i=0;i<=n+1;i++)
dp8[0][i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
}

第九問題，分成若干個奇數

只需要判斷一下奇偶性就好了

memset(dp9,0,sizeof(dp9));
dp9[0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)
else
dp9[i][j]=dp9[i][j-1];}}

最後乙個，就不用說了。

寫到這裡，就應該差不多了。感謝老王對我說的一句話：

「我覺得潛心研究乙個東西就能有顯著提高」

所以，我想說，搞acm,刷題數量並不是最重要的，不要去關注total accept。去反覆研究乙個問題，它帶給你的，有時候比刷二十道，三十道，還要多，還要有用。

整數劃分總結

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整數劃分（劃分dp）總結

整數劃分問題

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