一、樹的基本概念
樹（tree）是元素的集合，樹有多個節點可以儲存元素
二、二叉樹
每個節點最多有兩個子節點的樹稱為二叉樹；常用來做二分查詢（binary search）等
三、b樹
即二叉搜尋樹（binary search tree），是一種特殊形態的二叉樹
1、所有節點最多擁有2個子節點
2、所有節點儲存乙個關鍵字
3、非葉子節點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹
b樹從根節點開始查詢，如果查詢關鍵字等於節點則命中。否則，如果查詢關鍵字小於節點關鍵字則進入左子樹查詢，如果查詢關鍵字大於節點關鍵字則進入右子樹查詢；如果左或右子樹指標為空，則表示沒有找到匹配的結果。
如果b樹的所有非葉子節點左右子樹節點數目差不多（平衡），則b樹的查詢效能逼近二分查詢。但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是改變b樹結構（插入或刪除節點）不需要移動大段記憶體資料，通常是常熟開銷。
但b樹在經過多次插入或刪除節點後會導致不同的結果，即不再平衡
四、平衡二叉樹
平衡二叉樹即是在b樹的基礎上新增了平衡演算法，使其保持良好的查詢效能
五、其他衍生b樹
b-樹、b+樹、b*樹都是多路搜尋樹，其中b+樹是b-樹的變體，b*樹是b+樹的變體
b-樹是專門進行查詢的多叉樹，指標數量為關鍵字數加1，所有關鍵字只出現一次，非葉子節點可命中，效能相當於二分查詢，避免了失平衡問題，但需要節點**和合併
1、b-樹
1）所有非葉子節點最多有m個子節點；且m > 2
2）根節點的子節點數目為[2, m]，非根非葉子節點的子節點數目為[m/2, m]
3）每個節點存放關鍵字的數量為m/2 -1（向上取整）到 m-1個（最少2個）
4）非葉子節點關鍵字個數 = 指向子節點指標個數 - 1
5）非葉子節點的關鍵字k[1]...k[m-1]，且k[i] < k[i + 1]
6）非葉子節點的指標p[1]...p[m]，p[1]指向關鍵字小於k[1]的子節點，p[m]指向關鍵字大於k[m - 1]的子節點；其他p[i]指向關鍵字屬於(k[i-1],k[i])的子節點
7）所有葉子節點位於同一層
一顆三路b-樹
b-樹從根節點開始搜尋，對節點內關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束；否則進入查詢關鍵字所屬範圍的子節點；重複；直到所對應的子節點指標為空或已經是葉子節點
鑑於以上的定義使得b-樹具有以下特性：
1）關鍵字集合分布在整棵樹中
2）任何關鍵字出現且只出現在乙個節點中
3）搜尋有可能在非葉子節點結束
4）搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢
5）自動層次控制
由於除根以外的非葉子節點至少有m/2個子節點，能夠確保節點的最低利用率，最差搜尋效能為：
說明：m為最大子節點個數，n為關鍵字總數；可以看出b-樹的查詢效能與二分查詢相同，都為o(log2n)，與m值無關，也沒有b樹的平衡問題；但是由於m/2的限制，在插入或刪除節點時需要對節點進行拆分或者合併操作
2、b+樹
b+樹是b-樹的變體，指標數量與關鍵字數量相等，同一關鍵字可能出現多次，所有關鍵字都在葉子節點出現，並通過鍊錶連線，適合檔案系統
b+樹的定義與b-樹基本相同，除了：
1）非葉子節點的子節點個數與關鍵字個數相等
2）非葉子節點指標p[i]指向關鍵字屬於[k[i], k[i+1]]的子節點（與b-樹不同，b-樹是開區間）
3）所有關鍵字都在葉子節點出現，並且所有葉子節點都含有乙個鏈指標
例：最大子節點為3的b+樹
b+樹搜尋與b-樹相同，但是只在葉子節點才命中，效能也等價於一次二分查詢
b+樹的特性：
1）所有關鍵字都在葉子節點的鍊錶中（稠密索引），而且是關鍵字有序的
2）不可能在非葉子節點命中
3）非葉子節點相當於葉子節點的索引（稀疏索引），葉子節點相當於儲存資料（關鍵字）的資料層
4）適合檔案索引系統
3、b*樹
b*樹是b+樹的變體，在非根和非葉子節點層增加指向兄弟的指標，同時定義非葉子節點關鍵字個數至少為(2/3)m，即塊的最低使用率為2/3（b+樹為1/2）
**對比：
b+樹：分配新節點時，將1/2的資料拷貝至新節點，在父節點中新增新節點的指標
b*樹：先確定兄弟節點是否已滿 (1) 如不滿則先移動一部分資料到兄弟節點，再新增新關鍵字，最後修改父節點中的兄弟節點關鍵字；(2)如兄弟節點已滿，則分配新的節點，並從自身和兄弟節點各移動1/3的資料到新節點，最後在父節點中新增新節點指標
相對於b+樹，b*樹通過兄弟節點的指標進一步提高空間利用率，並且降低了分配新節點的概率；但是操作相對複雜一些
簡單小結：
b樹：二叉樹，每個結點只儲存乙個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；效能基本上等於二分查詢，有失平衡問題
b-樹：多路搜尋樹，每個結點儲存m/2到m個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；二分查詢效能
b+樹：在b-樹基礎上，為葉子結點增加鍊錶指標，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；b+樹總是到葉子結點才命中；二分查詢效能
b*樹：在b+樹基礎上，為非葉子結點也增加鍊錶指標，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；同樣是二分查詢效能
資料結構之 樹
1.雙親表示法 下標 資料 parentid 2.孩子表示法 data child1 child2 child3 3.雙親孩子表示法 下標 parentid firstchildid secondchildid 節點 下標 next 頁的話next應該是null 4.孩子兄弟表示法 data 第一次...
資料結構之樹
樹是節點的有限集合.度 a的度是3 b的度是2 d的度是2 c的度為0 當前節點的直接分支 葉子 終端節點就是葉子 e f g h c 根 非終端節點就是根 a b d 有序樹 如果e f不可以隨意換順序 就是有序樹 無序樹 如果 e f可以隨意換順序而且不影響邏輯 祖先 對e來說 b,a都是祖先 ...
資料結構之樹
1.樹是什麼？樹是n個結點組成的一種非線性結構。2.樹的屬性 1 父母 孩子和兄弟結點 結點的前驅結點稱為父母結點，後繼結點是孩子，相同父母結點的結點稱為兄弟。2 度 結點的度指的是擁有子樹的數量。葉子結點的度為0，樹的度是結點的度的最大值。3 結點層次，樹的高度 結點的層次指的是結點處於樹的層次位...