約瑟夫環問題的原來描述為，設有編號為1，2，……，n的n(n>0)個人圍成乙個圈，從第1個人開始報數，報到m時停止報數，報m的人出圈，再從他的下乙個人起重新報數，報到m時停止報數，報m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈為止。當任意給定n和m後，設計演算法求n個人出圈的次序。 稍微簡化一下。
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
思路：容易想到的就是用環鏈表來做，構建乙個環鏈表，每個結點的編號為0, 1, ...... n-1。每次從當前位置向前移動m-1步，然後刪除這個結點。最後剩下的結點就是勝利者。給出兩種方法實現，一種是自定義鍊錶操作，另一種用是stl庫的單鏈表。不難發現，用stl庫可以提高編寫速度。
[cpp]view plain
copy
print?
struct
listnode
};
//自定義鍊錶實現
intjosephusproblem_solution1(
intn,
intm)
pcurrentnode->next = phead;
//迴圈遍歷
plastnode = pcurrentnode;
pcurrentnode = phead;
while
(pcurrentnode->next != pcurrentnode)
//刪除報到m - 1的數
plastnode->next = pcurrentnode->next;
delete
pcurrentnode;
pcurrentnode = plastnode->next;
} //釋放空間
intresult = pcurrentnode->num;
delete
pcurrentnode;
return
result;
}
[cpp]view plain
copy
print?
//使用標準庫
intjosephusproblem_solution2(
intn,
intm)
//臨時儲存刪除的結點
list>::iterator iterdel = itercurrent;
if(++itercurrent == listint.end())
itercurrent = listint.begin();
//刪除結點
listint.erase(iterdel);
} return
*itercurrent;
}
上述方法的效率很低，其時間複雜度為o(mn)。當n和m很大時，很難在短時間內得出結果。不過好處就是可以給出n個人出圈的次序。只要在刪除前儲存一下即可。
下面利用數學推導，如果能得出乙個通式，就可以利用遞迴、迴圈等手段解決。下面給出推導的過程：
（1）第乙個被刪除的數為 (m - 1) % n。
（2）假設第二輪的開始數字為k，那麼這n - 1個數構成的約瑟夫環為k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做乙個簡單的對映。
k -----> 0
k+1 ------> 1
k+2 ------> 2
...
...
k-2 ------> n-2
這是乙個n -1個人的問題，如果能從n - 1個人問題的解推出 n 個人問題的解，從而得到乙個遞推公式，那麼問題就解決了。假如我們已經知道了n -1個人時，最後勝利者的編號為x，利用對映關係逆推，就可以得出n個人時，勝利者的編號為 (x + k) % n。其中k等於m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
（3）第二個被刪除的數為(m - 1) % (n - 1)。
（4）假設第三輪的開始數字為o，那麼這n - 2個數構成的約瑟夫環為o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。繼續做對映。
o -----> 0
o+1 ------> 1
o+2 ------> 2
...
...
o-2 ------> n-3
這是乙個n - 2個人的問題。假設最後的勝利者為y，那麼n -1個人時，勝利者為 (y + o) % (n -1 )，其中o等於m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n - 1個人問題的解，只需得到n - 2個人問題的解，倒推下去。只有乙個人時，勝利者就是編號0。下面給出遞推式：
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
有了遞推公式，實現就非常簡單了，給出迴圈的兩種實現方式。再次表明用標準庫的便捷性。
[cpp]view plain
copy
print?
intjosephusproblem_solution4(
intn,
intm)
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死...
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也...
約瑟夫環問題
約瑟夫環問題 問題描述 編號是1，2，n的n個人按照順時針方向圍坐一圈，每個人持有乙個密碼 正整數 一開始任選乙個正整數作為報數上限值m,從第乙個人開始順時針方向自1開始順序報數，報到m時停止報數。報m的人出列，將他的密碼作為新的m值，從他在順時針方向的下乙個人開始重新從1報數，如此下去，直到所有人...