演算法導論 快速排序

既然敢叫「快速排序」，必然有其過人之處。事實上，它確實是最快的通用內部排序演算法。它由hoare於2023年提出，相對歸併排序來說不僅速度快，並且不需要輔助空間。

對於包含n個數的輸入陣列來說，快速排序是一種最壞情況時間複雜度為o(n^2)的排序演算法。雖然最壞情況時間複雜度差，但是快速排序通常是實際排序應用中最好的選擇，因為它的平均效能非常好：它的期望時間複雜度o(nlgn)，而且其中隱含的常數因子非常小。另外，它還能夠原址排序，甚至在虛存環境中也能很好的工作。

1. 快速排序的描述

快速排序使用了分治思想，下面是對乙個典型的子陣列a[p..r]進行快速排序的三步分治過程：

分解：陣列a[p..r]被劃分為兩個（可能為空）子陣列a[p..q-1]和a[q+1..r]，使得a[p..q-1]中的每乙個元素都小於等於a[q]，而a[q]也小於等於a[q+1..r]中的每乙個元素。其中，計算下標q也是劃分過程的一部分。

解決：通過遞迴呼叫快速排序，對子陣列a[p..q-1]和a[q+1..r]進行排序。

合併：因為子陣列都是原址排序的，所以不需要合併操作：資料a[p..r]已經有序。

quicksort(a, p, r)

1. if p < r
2.     q = partition(a, p, r)
3.     quicksort(a, p, q-1)
4.     quicksort(a, q+1, r)

為了排序乙個陣列a的全部元素，初始呼叫為quicksort(a, 1, a.length)。

陣列的劃分：

演算法的關鍵部分是partition過程，它實現了對子陣列a[p..r]的原址重排。

partition方案一

partition(a, p, r)

1. x = a[r]
2. i = p - 1
3. for j = p to r-1
4.     if a[j] <= x
5.         i = i+1
6.         exchange a[i] with a[j]
7. exchange a[i+1] with a[r]
8. return i+1

hoare-partition(a, p, r)

1. x = a[p]
2. i = p-1
3. j = r+1
4. while true
5.     repeat
6.         j = j-1
7.     until a[j] <= x
8.     repeat
9.         i = i+1
10.     until a[j] >= x
11.     if i < j
12.         exchange a[i] with a[j]
13.     else return j

快速排序的隨機化版本只對partition和quicksort的**改動非常少。在新的劃分程式中，我們只是在真正進行劃分前進行一次交換：

randomized-partition(a, p, r)

1. i = random(p, r)
2. exchange a[r] with a[i]
3. return partition(a, p, r)

一種改進的randomized-quicksort的方法是在劃分時，要從子陣列中更細緻地選擇作為主元的元素（而不是簡單的隨機選擇），常用的做法是三數取中法：從子陣列中隨機選出三個元素，取其中位數作為主元（演算法從略）。

新的快速排序不再呼叫partition，而是呼叫randomized-partition：

randomized-quicksort(a, p, r)

1. if p < r
2.     q = randomized-partition(a, p, r)
3.     randomized-quicksort(a, p, q-1)
4.     randomized-quicksort(a, q+1, r)

選擇第k大的數，問題描述：

輸入：乙個包含n個（互異的）數的集合a和乙個整數i， 1 <= i <= n。

輸出：元素x屬於a，且a中恰好有i-1個其他元素小於它。

一般選擇問題看起來要比找最小值這樣的簡單問題更難，但令人驚奇的是，這兩個問題的漸近執行時間卻是相同的：o(n)。與快速排序一樣，我們仍然對陣列進行遞迴劃分。但不同的是，快速排序會遞迴處理劃分的兩邊，而randomized-select只處理劃分的一邊。

randomized-select利用了randomized-partition過程。與randomized-quicksort一樣，因為它的部分行為是由隨機數生成器的輸出決定的，所以randomize-select也是乙個隨機演算法。以下是randomized-select的偽**，它返回陣列a[p..r]中第i小的元素。

randomized-select(a, p, r, i)

1. if p == r
2.     return a[p]
3. q = randomized-partition(a, p, r)
4. k = q-p+1
5. if i == k
6.     return a[q]
7. else if i < k
8.     return randomized-select(a, p, q-1, i)
9. else return randomized-select(a, q+1, r, i-k)

通過執行以下步驟，演算法select可以確定乙個有n>1個不同元素的輸入陣列中第i小的元素。（如果n=1，則select只返回它的唯一輸入數值作為第i小的元素。）

(1). 將輸入陣列的n個元素劃分為n/5組，每組5個元素，且至多只有一組由剩下的n mod 5個元素組成；

(2). 尋找這n/5組中每一組的中位數：首先對每組元素進行插入排序，然後確定每組有序元素的中位數；

(3). 對第2步中找出的n/5個中位數，遞用select以找出其中位數x（如果有偶數個中位數，為了方便，約定x為較小的中位數）； 

(4). 利用修改過的partition版本，按中位數的中位數x對輸入陣列進行劃分。讓k比劃分的低區中的元素數目多1，因此x是第k小的元素，並且有n-k個元素在劃分的高區；

(5). 如果i=k，則返回x。如果ik，則在高區遞迴查詢第i-k小的元素。

快速排序 演算法導論

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