一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函式，用t(n)表示，若有某個輔助函式f(n)，使得當n趨近於無窮大時，t(n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n))，稱o(f(n))為演算法的漸進時間複雜度(o是數量級的符號 )，簡稱時間複雜度。
時間複雜度是總運算次數表示式中受n的變化影響最大的那一項(不含係數)
比如：一般總運算次數表示式類似於這樣：
a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
a ！ =0時，時間複雜度就是o(2^n);
a=0,b<>0 =>o(n^3);
a,b=0,c<>0 =>o(n^2)依此類推
eg:
(1) 迴圈了n*n次，複雜度是o(n^2)
for(i=1;i
<=n;i++)
for(j=1;j
<=n;j++)
s++;
for(i=1;i
<=n;i++)
for(j=i;j
<=n;j++)
s++;
for(i=1;i
<=n;i++)
for(j=1;j
<=i;j++)
s++;
i=1;k=0;
while(i
<=n-1)
for(i=1;i
<=n;i++)
for(j=1;j
<=i;j++)
for(k=1;k<=j;k++)
x=x+1;
log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n)，忽略掉係數，二者當然是等價的
**乙個演算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機執行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個演算法都上機測試，只需知道哪個演算法花費的時間多，哪個演算法花費的時間少就可以了。並且乙個演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數多，它花費時間就多。
乙個演算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為t(n)。
在計算時間複雜度的時候，先找出演算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出t（n）的同數量級（它的同數量級有以下：1，log2n，n ，nlog2n，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出後，f（n）=該數量級，若t(n)/f(n)求極限可得到一常數c，則時間複雜度t（n）=o（f（n））。
常見的時間複雜度 按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有： 常數階o(1), 對數階o(log2n), 線性階o(n), 線性對數階o(nlog2n), 平方階o(n^2)， 立方階o(n^3),…， k次方階o(n^k), 指數階o(2^n) 。
1.o(n)，o(n^2)， 立方階o(n^3),…， k次方階o(n^k) 為多項式階時間複雜度，分別稱為一階時間複雜度，二階時間複雜度。。。。
2.o(2^n)，指數階時間複雜度，該種不實用
3.對數階o(log2n), 線性對數階o(nlog2n)，除了常數階以外，該種效率最高
例：演算法：
for（i=1;i<=n;++i）
}
則有f（n）= n^3，然後根據t（n）/f（n）求極限可得到常數c
則該演算法的 時間複雜度：t（n）=o（n^3)
定義：如果乙個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n)，它是n的某一函式
t(n)稱為這一演算法的「時間複雜性」。
當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的「漸近時間複雜性」。
我們常用大o表示法表示時間複雜性，注意它是某乙個演算法的時間複雜性。大o表示只是說有上界，由定義如果f(n)=o(n)，那顯然成立f(n)=o(n^2)，它給你乙個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。
此外，乙個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。
「大o記法」：在這種描述中使用的基本引數是
n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order)，比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法 o ( f(n) )表示當 n增大時，執行時間至多將以正比於 f(n)的速度增長。
這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的 o(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。
o(1)：
temp=i;i=j;j=temp;o(n^2)
2.1.
交換i和j的內容
sum=0； （一次）
for(i=1;i
<=n;i++) （n次 ）
for(j=1;j
<=n;j++) （n^2次 ）
sum++； （n^2次 ）
2.2.
for (i=1;i
i++)
語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
該程式的時間複雜度t(n)=o(n^2).
o(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for(i=1;i<=n;i++) ②
語句2的頻度：n,
語句3的頻度： n-1,
語句4的頻度：n-1,
語句5的頻度：n-1,
t(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=o(n).
o(log2n):
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)=
log2n,
t(n)=o(log2n )
o(n^3)
2.5.
for(i=0;i
i++)
}
我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。如快速排序的最壞情況執行時間是 o(n^2)，但期望時間是 o(nlogn)。通過每次都仔細 地選擇基準值，我們有可能把平方情況 (即o(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於 0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以 (o(nlogn)時間執行。
下面是一些常用的記法：
訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說o(1)操作。
乙個演算法如 果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取 o(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要o(n)時間。
常規的矩陣乘演算法是o(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。
指數時間演算法通常**於需要求出所有可能結果。例如，n個元 素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是o(2n)的。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在 這個問題中增加乙個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」 )，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。
參考文章：
演算法複雜度的計算
演算法複雜度是在 資料結構 這門課程的第一章裡出現的，因為它稍微涉及到一些數學問題，所以很多同學感覺很難，加上這個概念也不是那麼具體，更讓許多同學學起來無從下手，下面我們就這個問題給各位考生進行分析。首先了解一下幾個概念。乙個是時間複雜度，乙個是漸近時間複雜度。前者是某個演算法的時間耗費，它是該演算...
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