演算法複雜度的計算

演算法複雜度是在《資料結構》這門課程的第一章裡出現的，因為它稍微涉及到一些數學問題，所以很多同學感覺很難，加上這個概念也不是那麼具體，更讓許多同學學起來無從下手，下面我們就這個問題給各位考生進行分析。

首先了解一下幾個概念。乙個是時間複雜度，乙個是漸近時間複雜度。前者是某個演算法的時間耗費，它是該演算法所求解問題規模n的函式，而後者是指當問題規模趨向無窮大時，該演算法時間複雜度的數量級。

當我們評價乙個演算法的時間效能時，主要標準就是演算法的漸近時間複雜度，因此，在演算法分析時，往往對兩者不予區分，經常是將漸近時間複雜度t(n)=o(f(n))簡稱為時間複雜度，其中的f(n)一般是演算法中頻度最大的語句頻度。

此外，演算法中語句的頻度不僅與問題規模有關，還與輸入例項中各元素的取值相關。但是我們總是考慮在最壞的情況下的時間複雜度。以保證演算法的執行時間不會比它更長。

常見的時間複雜度，按數量級遞增排列依次為：常數階o(1)、對數階o(log2n)、線性階o(n)、線性對數階o(nlog2n)、平方階o(n^2)、立方階o(n^3)、k次方階o(n^k)、指數階o(2^n)。

下面我們通過例子加以說明，讓大家碰到問題時知道如何去解決。

1、設三個函式f,g,h分別為 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn

請判斷下列關係是否成立：

（1） f(n)=o(g(n))

（2） g(n)=o(f(n))

（3） h(n)=o(n^1.5)

（4） h(n)=o(nlgn)

這裡我們複習一下漸近時間複雜度的表示法t(n)=o(f(n))，這裡的"o"是數學符號，它的嚴格定義是"若t(n)和f(n)是定義在正整數集合上的兩個函式，則t(n)=o(f(n))表示存在正的常數c和n0 ,使得當n≥n0時都滿足0≤t(n)≤c?f(n)。"用容易理解的話說就是這兩個函式當整型自變數n趨向於無窮大時，兩者的比值是乙個不等於0的常數。這麼一來，就好計算了吧。

（1）成立。題中由於兩個函式的最高次項都是n^3,因此當n→∞時，兩個函式的比值是乙個常數，所以這個關係式是成立的。

（2）成立。與上同理。

（3）成立。與上同理。

（4）不成立。由於當n→∞時n^1.5比nlgn遞增的快，所以h(n)與nlgn的比值不是常數，故不成立。

2、設n為正整數，利用大"o"記號，將下列程式段的執行時間表示為n的函式。

(1) i=1; k=0

while(i1

while (x>=(y+1)*(y+1))

y++;

解答：t(n)=n1/2 ，t(n)=o(n1/2)，最壞的情況是y=0，那麼迴圈的次數是n1/2次，這是乙個按平方根階遞增的函式。

(3) x=91; y=100;

while(y>0)

if(x>100)

else x++;

解答： t(n)=o(1)，這個程式看起來有點嚇人，總共迴圈執行了1000次，但是我們看到n沒有? 沒。這段程式的執行是和n無關的，就算它再迴圈一萬年，我們也不管他，只是乙個常數階的函式。

規則：有如下複雜度關係

c < log2n < n < n * log2n < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是乙個常量，如果乙個演算法的複雜度為c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那麼這個演算法時間效率比較高，如果是 2^n , 3^n ,n!，那麼稍微大一些的n就會令這個演算法不能動了，居於中間的幾個則差強人意。

我們常需要描述特定演算法相對於 n(輸入元素的個數 )需要做的工作量。在一組未排序的資料中檢索，所需的時間與 n成正比；如果是對排序資料用二分檢索，花費的時間正比於logn。排序時間可能正比於n^2或者nlogn。

我們希望能夠比較演算法的執行時間和空間要求，並使這種比較能與程式語言、編譯系統、機器結構、處理器的速度及系統的負載等複雜因素無關。

為了這個目的，人們提出了一種標準的記法，稱為「大o記法」.在這種描述中使用的基本引數是 n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的「o」表示量級 (order)，比如說「二分檢索是 o(logn)的」,也就是說它需要「通過logn量級的步驟去檢索乙個規模為n的陣列」記法o ( f(n) )表示當n增大時，執行時間至多將以正比於f(n)的速度增長。這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，乙個低附加代價的o(n2)演算法在n較小的情況下可能比乙個高附加代價的o(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上公升函式的演算法必然工作得更快。

temp=i;i=j;j=temp; 以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是乙個與問題規模n無關的常數。

演算法的時間複雜度為常數階，記作t(n)=o(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是乙個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是o(1)。

例 2.1. 交換i和j的內容

1） sum=0；（一次）

2） for(i=1;i<=n;i++) （n次）

3） for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）

4） sum++；（n^2次）

解：t(n)=2n^2+n+1 =o(n^2)

例 2.2.

for (i=1;i例 2.3.

a=0;b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++)　②

...解：語句1的頻度：2, 語句2的頻度： n, 語句3的頻度： n-1, 語句4的頻度：n-1,

語句5的頻度：n-1, 則：t（n)=2+n+3(n-1)=4n-1=o(n).

例 2.4.

i=1; ①

while (i<=n)

i=i*2; ②

解：語句1的頻度是1, 設語句2的頻度是f(n), 則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,則該程式的時間複雜度t(n)=o(log2n )

例 2.5.

for(i=0;i下面是一些常用的記法：

訪問陣列中的元素是常數時間操作，或說o(1)操作。乙個演算法如果能在每個步驟去掉一半資料元素，如二分檢索，通常它就取o(logn)時間。用strcmp比較兩個具有n個字元的串需要o(n)時間。常規的矩陣乘演算法是o(n^3)，因為算出每個元素都需要將n對元素相乘並加到一起，所有元素的個數是n^2。

指數時間演算法通常**於需要求出所有可能結果。例如，n個元素的集合共有2n個子集,所以要求出所有子集的演算法將是o(2n)的。指數演算法一般說來是太複雜了，除非n的值非常小，因為，在這個問題中增加乙個元素就導致執行時間加倍。不幸的是，確實有許多問題 (如著名的「巡迴售貨員問題」)，到目前為止找到的演算法都是指數的。如果我們真的遇到這種情況，通常應該用尋找近似最佳結果的演算法替代之。

演算法複雜度的計算

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演算法的複雜度計算

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