最近點對問題

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在二維平面上的n個點中，如何快速的找出最近的一對點，就是最近點對問題。

一種簡單的想法是暴力列舉每兩個點，記錄最小距離，顯然，時間複雜度為o(n^2)。

在這裡介紹一種時間複雜度為o(nlognlogn)的演算法。其實，這裡用到了分治的思想。將所給平面上n個點的集合s分成兩個子集s1和s2，每個子集中約有n/2個點。然後在每個子集中遞迴地求最接近的點對。在這裡，乙個關鍵的問題是如何實現分治法中的合併步驟，即由s1和s2的最接近點對，如何求得原集合s中的最接近點對。如果這兩個點分別在s1和s2中，問題就變得複雜了。

為了使問題變得簡單，首先考慮一維的情形。此時，s中的n個點退化為x軸上的n個實數x1，x2，...，xn。最接近點對即為這n個實數中相差最小的兩個實數。顯然可以先將點排好序，然後線性掃瞄就可以了。但我們為了便於推廣到二維的情形，嘗試用分治法解決這個問題。

假設我們用m點將s分為s1和s2兩個集合，這樣一來，對於所有的p(s1中的點)和q(s2中的點)，有p

遞迴地在s1和s2上找出其最接近點對和，並設

d = min

由此易知，s中最接近點對或者是，或者是，或者是某個，如下圖所示。

此時，一維情形下的最近點對時間複雜度為o(nlogn)。

在二維情形下，類似的，利用分治法，但是難點在於如何實現線性的合併？

由上圖可見，形成的寬為2d的帶狀區間，最多可能有n個點，合併時間最壞情況下為n^2,。但是，p1和p2中的點具有以下稀疏的性質，對於p1中的任意一點，p2中的點必定落在乙個d x 2d的矩形中，且最多隻需檢查六個點（鴿巢原理）。

這樣，先將帶狀區間的點按y座標排序，然後線性掃瞄，這樣合併的時間複雜度為o(nlogn)，幾乎為線性了。

光說不練也不行，經過自己的思考和參考網上的程式，完成了最近點對的程式，並在各oj上成功ac了。

poj3714

zoj2107

hdu1007

[cpp]view plain

copy

print?

/**最近點對問題，時間複雜度為o(n*logn*logn)

*/#include

#include

using

namespace std;

const

double inf = 1e20;

const

int n = 100005;

struct point

point[n];

int n;

int tmpt[n];

bool cmpxy(const point& a, const point& b)

bool cmpy(const

int& a, const

int& b)

double min(double a, double b)

double dis(int i, int j)

double closest_pair(int left, int right)

sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);

//線性掃瞄

for(i = 0; i

} return d;

} int main()

return 0;

}

/**
最近點對問題，時間複雜度為o(n*logn*logn)
*/#include #include #include #include #include using namespace std;
const double inf = 1e20;
const int n = 100005;
struct point
point[n];
int n;
int tmpt[n];
bool cmpxy(const point& a, const point& b)
bool cmpy(const int& a, const int& b)
double min(double a, double b)
double dis(int i, int j)
double closest_pair(int left, int right)
sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);
//線性掃瞄
for(i = 0; i < k; i++)
}return d;
}int main()
return 0;
}

最近點對問題

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