昨天在介紹中位數中心演算法的時候，挖了個巨大的坑，結果導致老夫一夜沒有睡好，腦子裡面飛來飛去全部都是各種選擇和迭代演算法，今天終於下定決心把這個坑給填上。
其實我一直是不願意填演算法坑的……主要是自己的數學水平很一般，很容易出現填坑不成自己反被埋的情況，但是這個坑不填又不行，所以在填坑之前說明：這個僅是蝦神我自己的理解，不代表原文（限於能力問題，數學**確實不怎麼能讀透），如果有疑惑或者錯誤，請自行查閱原始**，蝦神只負責科普。
地理上有若干個點，現在需要尋找乙個到所有點距離總和最小的點，是幾何學和區域學研究中的乙個非常重要和著名的問題，但是最早由乙個經濟學家阿爾弗雷德
·韋伯（德語：alfred weber，2023年6月30日－2023年5月2日
，如下圖
）提出，所以也稱之為「韋伯問題（the weberproblem）」。這位韋伯先生並非是乙個數學家，而是一位經濟學家、社會學家和文化理論家。阿爾弗雷德
·韋伯是馬克斯
·韋伯（組織理論之父）
的弟弟。
他創立了工業區位理論，深刻影響了現代經濟地理學的發展。
在講韋伯問題之前，要涉及到數學裡面的乙個重大的問題，就是所謂的費馬點（
fermat point)
的問題。費馬點是
17世紀的乙個法國律師皮耶
·德·費馬（pierrede fermat
，如下圖
）提出來的，這位專職律師被稱為「業餘數學之王」，在數學的神殿裡面，有他一張王座鎮壓諸天……費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名「最後」的意思是：其它猜想都證實了，這是最後乙個。（
ps:貌似不務正業的人都很厲害，國外有賣縫紉機的托馬斯
.沃森（
ibm的創始人），國內有教英語的馬雲……）
費馬點是啥東西呢？
費馬點，指的是，在三角形內部，有乙個點，這個點到三角形三個頂點的距離之和最短，如下圖：
如果三角形的三個內角都小於
120度，如上圖：三角形
abc內部的乙個點
d，就是離這個三角形三個頂點距離總和最近的乙個點，從這個點向三角形三個頂點連線，得出的三個角正好整分費馬點所在的周角，即均為
120度。所以費馬點也稱為三角形的等角中心。
那麼如果三角形有乙個內角大於等於
120度，那麼這個鈍角的頂點就是費馬點。
要找到這個費馬點，也非常的容易，根本不需要我們去迭代計算（數學是一種追求完美的學科），只需要將三角形的三條邊都做乙個等邊三角形，然後用這個等邊三角形做乙個外接圓，三個外接圓的交點，正好就是這個費馬點。（等邊三角形做外接圓的方法就不詳說了，太簡單了）。
四邊形的費馬點就更容易了，凸四邊形，費馬點就是對角線交點；凹四邊形，費馬點就是凹點。
我們知道，三角形和四邊形這種在數學上非常特殊的情況，在現實生活在確實不多，特別是在多點之間計算費馬點的話。
所以複雜多邊形內的費馬點計算，也一直都是數學界津津樂道的話題。
因為複雜多邊形內的費馬點沒有公式來實現，所以到現在為止想通過乙個公式就計算出費馬點是不可能的事情。當然，初等數論裡面，對正多邊形提出了一些方法，例如分割成多個三角形這種方法，但是僅適用於正多邊形。
而且費馬點的尋找是不涉及到任何權重的，所以算出來的結果是完全幾何結果，幾何圖形的費馬點完全是在圖形內部。
韋伯問題在費馬點的基礎上擴充套件了權重概念，那麼帶來的乙個問題就是：有些點的權重，被設定為了負數，結果就是加權計算的時候，會讓這個中位數中心可能跳出幾何範圍之外。
例如：還是倉庫運輸的問題，我們要計算中位數中心，那麼如果有乙個倉庫不但可以存放中轉貨物，還提供了加油、修車、保養、司機休息的服務……那麼這個倉庫的權重計算可能就會被設定為負數，哪怕他的距離可能很大，但是所有來到這個倉庫的車輛，都會直接忽略距離因素而達到更優化的效果。
1962
年，普林斯頓大學的哈羅德
.威廉.庫恩和羅伯特.e.庫倫
提出了迭代最小二乘法解決韋伯問題的方案。具體的演算法如下：
首先確定起算點，起算點的確定非常簡單，kuhn和kuenne選擇了最簡單的一種起算方法，就是幾何平均數，用所有點的平均中心作為起算點。
接下去就是確定迭代優化方案了。迭代的優化方案主要就是對候選點的選擇，有如下幾個關鍵：
1、以起算點為參照，在什麼地方選擇候選點（
方向）。 2
、候選點選在起算點多遠的地方比較好（
距離）。
先講方向的問題，理論上來說，只需要向任意乙個不同的方向移動，就可以了。隨便向任意方向移動，都會產生不同的距離總和。
生成新的距離總和之後，與原來的起算點的距離總和進行對比，如果大於原來的距離總和，就說明這個候選點是錯誤的，丟棄，重新尋找。如果小於原來的距離總和，說明比起算點要優化，將他設為新的起算點，也就是候選點，然後以這個新的起算點，迭代進行選擇尋找。
然後再講講移動多少距離合適。
kuhn和kuenne在他們的**裡面，設定了一種很實用的距離公式，就是所謂的weiszfeld
演算法，這是一種重複加權最小二乘法，如下所示：
第一次選擇候選點的距離的時候，直接採用所有的點的平均距離y作為移動距離，移動完成之後計算，並且把這個y帶入到公式中，求解出下一次需要移動的距離。
根據我們迭代的次數的增加，會發現資料會逐漸的收斂。最後可以計算出最優的候選點，作為最後的位置。
當然，如果有權重的話，在每個點上面，還需要加上權重進行計算，如下公式：
其中wi
就是每個點的權重。
理論上，這個優化可以無限的接近無窮大（與最優點的距離無限接近於
0），但是無論是計算結果還是計算機能表示的結果，都是有乙個極限的，在實際的計算中，這個極限就是我們可以接受的精度。
一般來說，在
gis裡面，就是你建立座標系和要素圖層的
時候指定的精度，就是預設接受的
精度值。
當然，裡面還有很多很多其他的東西，比如各種條件什麼的，我這裡就不一一說明了，有興趣的同學，請參考如下文章：
白話空間統計十九 熱點分析（中）
在前面的話 白話空間統計系列還繼續更新，因為這段時間在對 使用r語言進行空間統計 系列進行翻譯翻譯和編寫，所以白話空間統計系列和使用r語言進行空間統計可能會交替出現，給大家的閱讀帶來的不便，請大家諒解 其實蝦神想說的心裡話是 你們需要的去翻蝦神的歷史文章，複習一下前面的內容吧！喔呵呵呵呵！前文再續，...
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