雙邊濾波與引導濾波

雙邊濾波

雙邊濾波很有名，使用廣泛，簡單的說就是一種同時考慮了畫素空間差異與強度差異的濾波器，因此具有保持影象邊緣的特性。

先看看我們熟悉的高斯濾波器

其中w是權重，i和j是畫素索引，k是歸一化常量。公式中可以看出，權重只和畫素之間的空間距離有關係，無論影象的內容是什麼，都有相同的濾波效果。

再來看看雙邊濾波器，它只是在原有高斯函式的基礎上加了一項，如下

其中 i 是畫素的強度值，所以在強度差距大的地方（邊緣），權重會減小，濾波效應也就變小。總體而言，在畫素強度變換不大的區域，雙邊濾波有類似於高斯濾波的效果，而在影象邊緣等強度梯度較大的地方，可以保持梯度。

引導濾波

引導濾波是近三年才出現的濾波技術，知道的人還不多。它與雙邊濾波最大的相似之處，就是同樣具有保持邊緣特性。在引導濾波的定義中，用到了區域性線性模型，至於該模型，可以暫時用下圖簡單的理解

該模型認為，某函式上一點與其鄰近部分的點成線性關係，乙個複雜的函式就可以用很多區域性的線性函式來表示，當需要求該函式上某一點的值時，只需計算所有包含該點的線性函式的值並做平均即可。這種模型，在表示非解析函式上，非常有用。

同理，我們可以認為影象是乙個二維函式，而且沒法寫出解析表示式，因此我們假設該函式的輸出與輸入在乙個二維視窗內滿足線性關係，如下

其中，q是輸出畫素的值，i是輸入影象的值，i和k是畫素索引，a和b是當視窗中心位於k時該線性函式的係數。其實，輸入影象不一定是待濾波的影象本身，也可以是其他影象即引導影象，這也是為何稱為引導濾波的原因。對上式兩邊取梯度，可以得到

即當輸入影象i有梯度時，輸出q也有類似的梯度，現在可以解釋為什麼引導濾波有邊緣保持特性了。

下一步是求出線性函式的係數，也就是線性回歸，即希望擬合函式的輸出值與真實值p之間的差距最小，也就是讓下式最小

這裡p只能是待濾波影象，並不像i那樣可以是其他影象。同時，a之前的係數（以後都寫為e）用於防止求得的a過大，也是調節濾波器濾波效果的重要引數。通過最小二乘法，我們可以得到

其中，在計算每個視窗的線性係數時，我們可以發現乙個畫素會被多個視窗包含，也就是說，每個畫素都由多個線性函式所描述。因此，如之前所說，要具體求某一點的輸出值時，只需將所有包含該點的線性函式值平均即可，如下

這裡，w_k是所有包含畫素i的視窗，k是其中心位置。

當把引導濾波用作邊緣保持濾波器時，往往有 i = p ，如果e=0，顯然a=1, b=0是e(a,b)為最小值的解，從上式可以看出，這時的濾波器沒有任何作用，將輸入原封不動的輸出。如果e>0，在畫素強度變化小的區域（或單色區域），有a近似於（或等於）0，而b近似於（或等於）

在濾波效果上，引導濾波和雙邊濾波差不多，在一些細節上，引導濾波較好。引導濾波最大的優勢在於，可以寫出時間複雜度與視窗大小無關的演算法（打算在之後的文章中討論），因此在使用大視窗處理時，其效率更高。

關於引導濾波更多的討論和應用，可以參看下面的**

guidedfilter_eccv10.pdf

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