集合元素的排列和組合

一、集合的排列

給定乙個集合s，含有n個不重複的元素，輸出該集合元素的所有排列，leetcode對應題目為：列印所有排列的複雜度為o(n*n!)，因為共有n！個不同的排列，列印每個排列的複雜度為o(n)。列印所有的排列一般採用深搜策略，先給出乙個常規的方法：

[cpp]view plain

copy

print?

void

perm(

intstart,

intend,vector<

int> &num,vectorint

>> &result)

for(int

i=start;i<=end;i++)

} 該**可看成是標準深搜的乙個具體例項：

[cpp]view plain

copy

print?

void

dfs(

inti,

intn,…)

ifi=n

print;

return

; for

j=i to k

dodfs(j,n,…);

深搜的第一步是判斷是否已經達到遞迴結束的條件，之後針對不同的解空間進行遞迴。在某些情況下，在遞迴之前也伴隨著剪枝，以加速演算法的執行速度。上述儲存集合排列的**思想很簡單：將起始位置的元素置成集合的每乙個元素，然後遞迴下乙個位置。該問題的解空間是乙個排列樹。例如，針對集合的解空間為：

圖1排列樹形式的解空間

排列樹形式的解空間有個規律，就是隨著遞迴深度的增加，每個節點的子節點個數都逐次減一，這也是為什麼排列演算法的複雜度是o(n!)。

此外，還有一種生成排列的方法，思想不太好懂，下面只給出**：

[cpp]view plain

copy

print?

void

perm(

intn,vector<

int> &num,vectorint

>> &result)

for(int

i=0;i

else

} }

演算法正確性證明的基本思想是：陣列長度n為奇數時，操作完成後，陣列不變，n為偶數時，操作完成後，陣列迴圈右移一位。

二、集合的k元素子集

給定乙個集合s，含有n個不重複的元素，生成所有的含有k個元素的子集，也即求組合數，leetcode對應題目為：

。該問題也可以通過深搜完成，在寫**之前先分析一下其解空間的構造。針對每乙個元素，我們都有兩種選擇：選擇該元素或者不選該元素，由此問題的解空間是一棵二叉樹。例如，對集合，選擇2個數的子集的解空間如下圖：

圖2 子集樹形式的解空間

根據上面的分析，我們可以知道求k個元素的子集，我們只需要判斷當前已經選擇的元素個數，如果已經選擇了k個元素，則找到乙個符合的子集，無需再遍歷子節點。如果尚未選擇k個元素，但是已經達到葉節點（n個元素已經判斷一遍），我們可以直接返回，這說明此次的遍歷沒有找到符合的子集。按照這個思路，**如下：

[cpp]view plain

copy

print?

void

com(

intdepth,

intn,

intk,vector<

int>& r,vectorint

> >& result)

if(depth==n)

return

; r.push_back(depth+1);

com(depth+1,n,k,r,result);

r.pop_back();

com(depth+1,n,k,r,result);

}

其中引數depth表示當前深度，引數n表示最大深度，引數k表示當前儲存的元素個數。如上所述，**有兩個終止條件：找到符合的子集，或者達到葉節點。遍歷時，只需要考慮兩種情況：選擇該元素或者不選該元素，然後遍歷下一層節點。

上述**是最原始的**，因為提交已經ac，所以無需再做優化，但實際上**還可以有很大的優化餘地。事實上，在某些路徑中，我們無需遍歷到葉節點也可以知道後面的遍歷是不符合要求的，如果需要新增的元素個數大於剩餘路徑上所有元素的個數，則即使新增剩餘所有的元素也不符合要求，此時我們可以直接進行剪枝，避免不必要的搜尋。如果不剪枝複雜度最壞為o(2n)，剪枝之後的複雜度為o(nk)。

在《挑戰程式設計競賽》一書的157頁，有介紹一種非遞迴列舉所包含的所有大小為k的子集的方法。有興趣的讀者可自行閱讀，下面只給出**：

[cpp]view plain

copy

print?

vectorint

> > combine(

intn,

intk)

} result.push_back(r);

intx=comb&-comb,y=comb+x;

comb=((comb&~y)/x>>1)|y;

} return

result;

}

三、集合的所有子集

問題二只求集合的k元素子集，現在要求集合的所有子集，leetcode對應的題目為：該問題更加簡單，只需要將圖2的子集樹完整遍歷一遍即可，從根節點到葉節點的每一條路徑都表示乙個可能的子集。**如下：

[cpp]view plain

copy

print?

void

sub(

intdepth,vector<

int> &s,vector<

int>& r,vectorint

>>& result)

r.push_back(s[depth]);

sub(depth+1,s,r,result);

r.pop_back();

sub(depth+1,s,r,result);

}

與問題二的區別是，不需要考慮當前已經儲存的元素個數，只需要判斷是否已經到達葉節點。當然，我們也可以通過遍歷乙個數的二進位制來獲得集合的所有子集。

[cpp]view plain

copy

print?

vectorint

> > subsets(vector<

int> &s)

} result.push_back(r);

} return

result;

}

上述三個問題都可以通過深搜完美解決，後兩個問題還可以通過位運算解決，不管是深搜還是位運算都有比較相似的模式，希望通過上面的分析，大家能深刻理解深搜和位運算。

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