關於線段的演算法彙總

基本知識：

線段樹：儲存線段的二叉排序樹，以start作為key, 同時維護樹中最大的右端點值 max

class node

經典應用：query any interval that intersect(overlap) with a given interval. 如果是查詢所有與給定線段重合的線段，則查到乙個，從樹種刪去，再查。最後再插回來。複雜度為rlgn

區間樹：區間[l, r]的左右子樹分別為[l, (l + r) / 2], [(l + r) / 2 + 1, r]，葉節點都是乙個元素的區間[a,a]。主要用於查詢區間上的屬性，比如和，最大值最小值，滿足某種條件的元素個數等。

經典應用，給定乙個陣列，需要高效的查詢任意區間的和（最大值，滿足某種條件的元素個數等）。對區間建立區間樹，然後每次查詢都是lgn的。原理是這樣，原區間的值，都都是由左右兩個子區間的值得來的，類似merge，比如求整個區間的和，可以分別求左右區間的和，然後相加。這是乙個遞迴的過程，遞迴到只有乙個元素。當區間只有乙個元素時，和、最大值等都是自己。

一些經典題目：

1. 給定一組飛機的起飛和降落時間，問同時最多幾架飛機在飛行？類似的問法，一組火車出發到達時刻表，問最多同時幾趟火車在執行？一組括號中最多幾層巢狀？

solution：經典的掃瞄線法，把線段(start, end)拆成點(time, start/end)，排序，如果時間值相同，終點在前起點在後。遇到乙個起點count++，遇到乙個終點count --。

int countofairplanes(vector&airplanes) 
sort(times.begin(), times.end());
int maxnum = 0, curnum = 0;
for (auto &t : times) 
return maxnum;
}

2. 給定一組線段，對線段進行merge

solution: 按起點排序，

迴圈不變式：result 是乙個merge過有序的線段列表，初始化就是第乙個線段。當前線段跟result.裡最後乙個線段比，當前線段的start肯定晚於result.back()的start, 因為之前已經按start排過序，主要看是否和其end相交：

1）如果小於等於其end，說明有相交，只需要更新上乙個選段的終點 result.back().end = max(result.back().end, cur.end())

vectormerge(vector&intervals) );
vectoroutput(1, intervals[0]);
for(int i = 1; i < intervals.size(); i++) 
return output;
}

3 給定一組不想交排好序的線段，把乙個線段插入其中，並進行必要的merge

思路1）跳過在前面的、不相交的線段：新線段起點在其終點後面

2）處理重合的，更新線段的起、終點，並且刪除原線段：重合條件：新線段終點大於等於其起點（之前已經保證了新線段起點早於其終點）

版本一：原地插入

vectorinsert(vector& intervals, interval newinterval) 
intervals.insert(i, newinterval);
return intervals;
}

版本二：用另乙個列表儲存結果

public arraylistinsert(arraylistintervals, interval newinterval) 
//overlaping  intervals, just keeps a longest one
for (; i < intervals.size() && intervals.get(i).start <= newinterval.end; i++) 
result.add(newinterval);
// intervals going behind
for (; i < intervals.size(); i++)
result.add(intervals.get(i));
return result;
}

4 帶顏色的刷線段問題，輸入是一系列把乙個區間刷成某種顏色的操作，(start, end, color)，輸出最後的狀態

分析；和insert 線段有點像，分三個部分：

1）首先要skip前面不相交的部分，toinsert.start > intervals[i].end || toinsert.start == intervals[i].end && toinsert.color != intervals[i].color，這裡的條件稍有不同，和上乙個線段的end剛好連上，但是顏色不同，也skip。

2) merge的部分：不帶顏色的線段的merge，overlap的部分連在一起，就是保留乙個最長的線段。帶顏色的話，可能是生成1個，2個，3個，兩頭部分覆蓋，中間完全覆蓋

3）後面不相交的部分，toinsert.end < intervals[i].start || toinsert.end == intervals[i].start && toinsert.color != intervals[i]

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關於內錶資料彙總的一些演算法

關於線段樹基礎

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