2015程式設計之美 骨牌覆蓋問題 二 快速冪

描述

上一周我們研究了2xn的骨牌問題，這一周我們不妨加大一下難度，研究一下3xn的骨牌問題？

所以我們的題目是：對於3xn的棋盤，使用1x2的骨牌去覆蓋一共有多少種不同的覆蓋方法呢？

首先我們可以肯定，奇數長度一定是沒有辦法覆蓋的；對於偶數長度，比如2，4，我們有下面幾種覆蓋方式：

輸入第1行：1個整數n。表示棋盤長度。1≤n≤100,000,000

輸出第1行：1個整數，表示覆蓋方案數 mod 12357

樣例輸入

62247088

4037

我們考慮能否在3xn的情況下找到同樣的式子。

但在實際的推導過程可以發現，對於3xn的覆蓋，對應的f數值公式比2xn複雜太多。我們需要換個角度來思考推導公式。

在我們放置骨牌的過程中，一定是放好一行之後再放置下一行。根據擺放的方式，可能會產生很多種不同的形狀，而這些形狀之間是否具有某些遞推關係呢？

如果他們存在一定的遞推關係，則我們可以根據第i行的方案數來推導第i+1行的方案數。這樣一行一行推導，直到第n行時不就得到了我們要求的方案數了麼？

那麼來研究一下是否存在這樣的推導公式吧

假設我們已經放好了一些骨牌，對於當前最後一列(第i列)骨牌，可能有8種情況：

對於上面這8種狀態，我們用數字來標記它們。以有放置骨牌的格仔為1，未放置為0，轉化為2進製數

以最下面一行作為1，則有：

接下來考慮如何放置骨牌，我們先將棋盤旋轉一下。假設我們正在放置第i行的骨牌，那麼會有下面3種方式：

灰色表示已經有的骨牌，綠色表示新放置的骨牌。

每一種放置方法解釋如下，假設當第i行的狀態為x，第i-1行的狀態為y：

這個是網上別人做的，但是他的用時肯定比我們用快速冪大，其思想如下

其實仔細想想畫一畫也可以得到遞推公式，假設奇數的方案數不為0，只要有乙個方塊達到奇數長度，就算是其中乙個方案，那麼有：
a[0] = 0; a[1] = 2; a[2] = 3;
對於奇數：a[i] = 2*a[i-1] + a[i-2];  對於偶數：a[i] = 3*a[i-2] + a[i-3];

using namespace std;

const long long mod=12357;

long long n,a[5];

void solve()

cout<>n)

;node mul(node a,node b)

node pow(node m,long long n)

return res;

}int main()

{    long long n;

while(cin>>n)

{if(n&1)

{cout<

2015程式設計之美 骨牌覆蓋問題 一（矩陣快速冪）

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骨牌覆蓋問題二

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