by z.h. fu
切問錄 (
)
在上中學學習對數的時候，我們就學到了乙個叫做e的東西(e≈
2.71828 e
=limn→
∞(1+
1n)n
),但是始終缺乏乙個直觀的理解，為什麼e要這麼定義，為什麼到處都會有他的身影。後來在研究乙個增長模型的時候，重新研究了下e的定義，找到了幾個關於它的直觀的理解。
首先研究這麼乙個模型，你往銀行裡存錢，假設銀行的利息按年結算，銀行每年的利息與你在銀行存的總額和時間成正比（即利息=現金總量x利率x時間差），設存入金額為1，利率為p，那麼第二年，你在銀行的金額增加到了 1
+p,第三年，你在銀行的錢將有 (
1+p)
(1+p
) ,第 n
+1年將有 (
1+p)
n 注意這裡的時間差都是以年來計算，假設，我們遇到了乙個很有耐心的銀行，它願意每天給你結算利息，我們來計算每一天的資金量，第二天的資金量= 1
+p365 (利息=總金（1）x利率（p）x時間（ 1
365 ）)，第365天的資金量為 (
1+p365
)364
，有沒有看到e的雛形？我們再假設銀行每秒鐘都會算一次利息，一年有n秒，那麼，按照之前給出的方法，我們就有年末的總金額= (
1+pn
)n當n趨於無窮大時，即銀行每時每刻都會給你結算利息，即等於 e
p ，也就是說，複利的極限竟然和e有關係！
我們換種思路再來思考這個問題，這次我們用利滾利的方式來思考，你的本金在銀行放了一年，這些本金產生的利息為設每一時刻的本金為c(
t)=1
，那麼在一年中第t時刻我們擁有的利息為：
p0(t
)=∫t
0pc(
t)dt
=∫t0
pdt=
pt因而一年下來的利息為p。但是事情還沒有結束，由這些利息產生的利息還沒有被計算，那麼利息產生的利息在t時刻應該為： p
1(t)
=∫t0
pp0(
t)dt
=∫t0
p2dt
=p2t
22同樣的道理，利息的利息，也會產生利息，這個利息又等於： p
2(t)
=∫t0
pp1(
t)dt
=∫t0
pp2t
22dt
=p3t
33×2
依次地推，我們有利息的利息的利息產生的利息在t時刻為： p
3(t)
=p4t
44!
而這種遞推是無窮的，我們把這些本金和利息載入一起就是我們最後擁有的資金，總數為： s
=1+p
0+p1
+⋯+p
n+⋯=
p00!
+p11
!+⋯+
pnn!
+⋯=e
p
其中，t全部被帶換成了1。這正是e的泰勒級數展開。
由此可見，我們通過一種模型匯出了e的兩種表示方式，那麼這兩種表示方式有沒有什麼聯絡呢？實際上，我們講e的極限式展開，有： e
p=limn→∞
(1+p
n)n=
(1+p
n)(1
+pn)
(1+p
n)⋯
我們來觀察其中的每一項
1的係數為1 含
pn 的項為
limn→
∞(n1
)pn=
limn→∞
npn=
p 含
(pn)
2 的項為
limn→
∞(n2
)(pn
)2=limn→
∞n(n
−1)2
!(pn
)2=p
22! 含
(pn)
k 的項為
limn→
∞(nk
)(pn
)k=limn→
∞n(n
−1)⋯
(n−k
+1)k
!(pn
)k=p
kk!
因此這些項的和為： s
=1+p
+p22
!+p3
3!+⋯
+pkk
!+⋯=
ep上面這個證明用到了多項式展開向無窮的推廣，尤拉曾經在證明 ∑
∞k=1
1k2=
π26 時用到了這個展開，但在當時還不算嚴謹，而這個展開推廣的合理性則是在一百年後由維爾斯特拉斯給出。
由以上論述，我們統一了e的泰勒展開與其定義，並給出了相應的物理意義，最後來看看一般情況下我們是怎麼解決這個問題的。設每乙個時刻的金額數為y，那麼我們有：
dy=y
pdt
即 y′
=py
這是乙個簡單的常微分方程，他的解就是 y
=ept
綜上我們給出了同乙個模型在e的定義、e的泰勒展開、常微分方程三種表示的物理意義。其中，常微分方程的使用最廣，而泰勒級數的方式卻體現了現代數學的一種無窮遞迴的思想，這種思想為後來的數學發展起到了相當大的影響作用。
[1]
[2]
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