組合數學「派送食物問題」

問題描述 lucy 和lily 是一對雙胞胎，在lucy 和lily 十歲生日的時候，她們舉辦了乙個晚會。晚會上，tom 負責派送食物。tom 手上有兩種食物，漢堡和三明治。晚會上的20 個孩子圍成一圈，tom 拿了10 個漢堡和10 個三明治，進行分發。為了保證公平，tom 採用丟硬幣的方法，正面給漢堡，背面給三明治。lucy 和lily 被按排到最後再拿食物，但當tom 發到第19 個人lucy 的時候，這時候只有兩個漢堡了，於是他不再丟硬幣了，讓最後兩個人都拿漢堡。lucy 和lily 因此都拿了漢堡。對此，tom 很好奇，他非常想知道當n（n 為偶數）個人圍成一圈的時候，分發n/2 個漢堡，n/2 個三明治，lucy 和lily 最後兩個拿食物，她們拿到同樣食物的概率。資料輸入第一行整數k，測試資料的組數，接下來k 行，每行乙個偶整數n。其中，n 的取值範圍是[2,4,6…100000]。資料輸出對於每組測試資料，輸出lucy 和lily 拿到同樣食物的概率。輸出四捨五入保留3 位有效數字。樣例輸入輸出樣例輸入3 6 10256 樣例輸出 0.625 0.727 0.950 資料說明 30%的測試資料n 的取值範圍小於50。 70%的測試資料n 的取值範圍小於等於1000。 100%的測試資料n 的取值範圍小於等於100000。

這完全就是一道數學題啊。。。由於我十分愚鈍，絲毫不會。。。

我們先把題解發出來

所以最後兩個數不同的概率是c(n-2,n/2-1)*(1/2)^(n-2)。
因此，最後兩個數相同的概率就是
1- c(n-2,(n/2-1)*(1/2)^(n-2)。
由於n實在太大了，在計算的時候要注意乘法和除法的結合，既要避免浮點數溢位，又要避免精度降到0之下。

上來那個「所以」弄得我莫名其妙,不知道這式子怎麼蹦出來的（當然神犇們一看題一眼就會了）。下面給出我愚蠢的過程。

我先敲了如下的模擬（數學課本上說，不好算的概率，可以用計算機模擬）

var
a,b,tot,i,c,n:longint;
begin
randomize;
tot:=10000000;
c:=0;
n:=10;
for tot:=1
to tot do
begin
a:=n>>1;b:=n>>1;
for i:=1
to n-2
doif random(2)=1
then dec(a) else dec(b);
if (a<=0)or(b<=0) then inc(c);
//if (a=0)or(b=0) then inc(c);
end;
writeln(c/tot:0:3);
end.

這個模擬充斥著我迂腐的思想。。。我在注釋的那一行糾結了很長時間，後來覺得就是小於等於零，而不是等於零，因為小於零對應著某一種「提前取完」。（其實把樣例輸進去看下就知道了「)。

通過這個模擬我們發現符合要求的情況就是n-2個數，每個可以取0或1，取得大於等於n/2個0或1。

這樣就和題解上的一樣了，就剩下」由於n實在太大了，在計算的時候要注意乘法和除法的結合，既要避免浮點數溢位，又要避免精度降到0之下」的處理，我又用了愚蠢的方法，把組合數定義裡的所有分子分母存起來，先乘法，太大之後做除法。

var
t,n:longint;
x,y:array[0..300000]of longint;
function
calc
(n:longint):extended;
var i,j,a,b:longint;ans:extended;
begin
b:=n-2;
for i:=1
to b do y[i]:=2;
a:=n>>1-1;
for i:=1
to a do
begin
x[i]:=n-1-i;
inc(b);
y[b]:=i;
end;
ans:=1;
i:=1;
j:=1;
//for i:=1 to b do write(y[i],' ');
while i<=a do
begin
ans:=ans*x[i];
while (ans>1e15)and(j<=b) do
begin ans:=ans/y[j];inc(j);end;
inc(i);
end;
while j<=b do
begin
ans:=ans/y[j];
inc(j);
end;
exit(1-ans);
end;
begin
assign(input,'food.in');reset(input);
assign(output,'food.out');rewrite(output);
readln(t);
for t:=1
to t do
begin
read(n);
writeln(calc(n):0:3);
end;
close(input);close(output);
end.

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