字串的特徵向量就是由字串各位置上的特徵數構成的乙個向量。設字串為p，令pi為從字串首字母到第i個位置的字首，則字串p的i位置上的特徵數就是pi的首尾非空真子串匹配的最大長度。例如：字串abcdaabcab的特徵向量是(0,0,0,0,1,1,2,3,1,2)。其中第5個位置的特徵數是1，因為p5是abcdaa，首尾非空真子串能夠匹配的就是a；而第7個位置的特徵數是3，因為p7是abcdaabc，首尾非空真子串能夠匹配的是abc。0位置上的特徵數顯然為0。暴力法求特徵向量顯然是非常耗時的，實際上可以基於這樣乙個思路求特徵向量：從0位置開始求特徵數，i位置上的特徵數是由之前位置的特徵數決定的。
用next陣列表示字串的特徵向量。如上所示，假設next[i-1]==x1，也就是說i-1位置上首尾x1個元素是匹配的。很顯然，當p[i]==p[x1]時，i位置上首尾至少有x1+1個元素匹配，實際上就是x1+1個。
當p[i]!=p[x1]時，考查next[x1-1]，假設其值為x2，這說明在x1-1位置上首尾x2個元素相等，此時，如果p[i]==p[x2]，則說明i位置首尾至少有x2+1個元素是匹配的，實際上就是x2+1個。如果p[i]!=p[x2]，則可以考查next[x2-1]，依次類推。直到x的值為0，此時如果p[i]==p[x]，則特徵數為x+1也就是1，否則就是0。 上述過程並不是演算法的充分條件，只是由特徵向量推出的性質；當然理論上也早有證明，這個性質是可以用來求出特徵向量的。
poj2406是一道利用特徵向量的簡單題目。假設字串s是另外乙個字串的t的n次方，即s是由t重複n次得到的，那麼最後乙個位置上的首尾匹配的真子串一定是s-t，而t的長度一定是s的長度減去s最後乙個位置上的特徵數，且s的長度一定是t長度的整數倍。這也是由n次方得到的性質，但是利用這個性質一樣可以證明s一定是t的n次方。
//令字串s=s^n，求最大的n
//例如aaaa = a^4 = (aa)^2，則答案是4
//如果s長度為l,s的長度為l,則s最後乙個特徵數一定是l-l
//而且l是l的n倍
#include
#include
using
namespace
std;
#define size 1000005
void getnext(char
const p,int n,int next)
return;
}char p[size];
int next[size];
int main()
return
0;}
上圖很明顯顯示了：當pi與對應的ti字母不相等時，p可以往後移多位。假設next[i-1]==2，則p應該往後移動i-2位再進行匹配。一般的，應該往後移動i-next[i-1]位。例如：abcdaabcab的特徵向量是(0000112312)，假設t1是abcz….，則當比較到第3位的時候字母不匹配，此時應該把p後移3-next[2]也就是3位，再進行比較；假設t2是abcdaabcz…，則當比較到第8位的時候不匹配，此時應該將p後移到8-next[7]也就是5位，再開始比較。
不過，特別要注意的是：在上圖中，p後移了i-next[i-1]位以後（假設next[i-1]是2），p0還需要與t[i-2]進行比較嗎？p1還需要與t[i-1]進行比較嗎？不需要，因為可以確定是相等的，只需從ti和p2開始往下比較。所以很重要的一點：kmp演算法中，t的字母只訪問一次，t中已經比較過的字母不需要再次與p去比較，t的下標不存在回溯。所以kmp演算法是線性時間的。對p而言，當pi字母與t對應字母不匹配時，需要從p的第next[i-1]個字母重新開始比較。在上圖中，就是要從第2個字母開始比較。在t2的例子中，t2是abcdaabcz…，p是abcdaabcad，當第8個字母a與t的字母z不匹配的時候，我們只需從p中的第3個字母d開始再跟t比較。
所以，我們可以重新定義特徵數和特徵向量，i位置的特徵數就是當i位置的字母不匹配的時候，p的下標需要重新定位的位置。特別的當第0個位置不匹配時，令next[0]==-1，表示p的下標仍然維持在0，但t的下標要往後移一位。於是p: abcdaabcad的kmp匹配演算法的特徵向量是(-1,0,0,0,0,1,1,2,3,1)。
kmp演算法仍然有優化的可能，當t3是abcdaaz…時，比較到第6個字母，p的下標應該回溯到幾？按上述值應該是1，但其實可以回到0。假設t4是abcdz…，當比較到第4個字母不匹配時，p的下標應該回到幾？可以回到0，但實際上t的這個字母不用再比較了，所以在p的下標回到0的同時，t的下標應該加1。這種操作恰好是特徵向量為-1時應該進行的操作。
如上，令i的特徵數是x1，即當pi不匹配時，p下標應該回到x1。但是當p[i]==p[x1]時，下標還可以再往前。令x1位置的特徵數是x2，則顯然下標可以回到x2，當p[i]!=p[x2]時。否則，下標還可以往前，如此反覆直到0位置。如果p[i]==p[0]，則i位置的特徵數應該是-1，表示此位置不匹配時，p的下標維持在0，而t的下標加1。字串abcdaabcab優化過後的特徵向量應該是(-1,0,0,0,-1,1,0,0,3,0)。
hdu1711是標準的kmp問題，只不過匹配的不是字串，而是整數序列。
//kmp演算法，匹配的不是字串行，而是整數
#include
using
namespace
std;
int t[1000005];
int p[10005];
int next[10005];
void getkmpnext(int
const p,int n,int next)
}//在t中搜尋p，輸出第乙個找到的位置，否則輸出-1
int kmp(int
const t,int tn,int
const p,int pn,int
const next)
return -1;
}int main()
return
0;}
字串匹配與KMP演算法
參考 j.boxer s blog the knuth morris pratt algorithm in my own words.在電腦科學中，knuth morris pratt字串查詢演算法 簡稱為kmp演算法 可在乙個主文字字串 s 內查詢乙個詞 w 的出現位置。此演算法通過運用對這個詞在...
字串 KMP演算法
而kmp演算法在字串匹配方法中乙個很著名並且很聰明的演算法，當然也確實比較難理解。甚至於有程式設計師因為無法理解kmp演算法而直接改用暴力匹配。本身自己學演算法起步較晚，第一次接觸到kmp演算法已經是研究生畢業一年了。雖然帶著研究生的學歷背景，但是剛開始看的時候依然是一臉懵逼。看了很多博主的講解總算...
字串 KMP演算法
而kmp演算法在字串匹配方法中乙個很著名並且很聰明的演算法，當然也確實比較難理解。甚至於有程式設計師因為無法理解kmp演算法而直接改用暴力匹配。本身自己學演算法起步較晚，第一次接觸到kmp演算法已經是研究生畢業一年了。雖然帶著研究生的學歷背景，但是剛開始看的時候依然是一臉懵逼。看了很多博主的講解總算...