動態規劃之01揹包

動態規劃的基本思想：

將乙個問題分解為子問題遞迴求解，且將中間結果儲存以避免重複計算。通常用來求最優解，且最優解的區域性也是最優的。求解過程產生多個決策序列，下一步總是依賴上一步的結果，自底向上的求解。

動態規劃演算法可分解成從先到後的4個步驟：

1. 描述乙個最優解的結構，尋找子問題，對問題進行劃分。

2. 定義狀態。往往將和子問題相關的各個變數的一組取值定義為乙個狀態。某個狀態的值就是這個子問題的解（若有k

個變數，一般用k

維的陣列儲存各個狀態下的解，並可根據這個陣列記錄列印求解過程。）。

3. 找出狀態轉移方程。一般是從乙個狀態到另乙個狀態時變數值改變。

4.以「自底向上」的方式計算最優解的值。

5. 從已計算的資訊中構建出最優解的路徑。(最優解是問題達到最優值的一組解)

其中步驟1~4是動態規劃求解問題的基礎，如果題目只要求最優解的值，則步驟5可以省略。

01揹包問題具體例子：

假設現有容量10kg的揹包，另外有3個物品，分別為a1，a2，a3。物品a1重量為3kg，價值為4；物品a2重量為4kg，價值為5；物品a3重量為5kg，價值為6。將哪些物品放入揹包可使得揹包中的總價值最大？

這個問題有兩種解法，動態規劃和貪婪演算法。本文僅涉及動態規劃。

先不套用動態規劃的具體定義，試著想，碰見這種題目，怎麼解決?

首先想到的，一般是窮舉法，乙個乙個地試，對於數目小的例子適用，如果容量增大，物品增多，這種方法就無用武之地了。

其次，可以先把價值最大的物體放入，這已經是貪婪演算法的雛形了。如果不新增某些特定條件，結果未必可行。

最後，就是動態規劃的思路了。先將原始問題一般化，欲求揹包能夠獲得的總價值，即欲求前i個物體放入容量為m（kg）揹包的最大價值c[i][m]——使用乙個陣列來儲存最大價值，當m取10，i取3時，即原始問題了。而前i個物體放入容量為m（kg）的揹包，又可以轉化成前(i-1)個物體放入揹包的問題。下面使用數學表示式描述它們兩者之間的具體關係。

表示式中各個符號的具體含義。

w[i] : 第i個物體的重量；

p[i] : 第i個物體的價值；

c[i][m] ：前i個物體放入容量為m的揹包的最大價值；

c[i-1][m] ：前i-1個物體放入容量為m的揹包的最大價值；

c[i-1][m-w[i]] ：前i-1個物體放入容量為m-w[i]的揹包的最大價值；

由此可得：

c[i][m]=max（下圖將給出更具體的解釋）

根據上式，對物體個數及揹包重量進行遞推，列出乙個**（見下表），**來自（，當逐步推出表中每個值的大小，那個最大價值就求出來了。推導過程中，注意一點，最好逐行而非逐列開始推導，先從編號為1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推編號為2的那行c[2][m]的大小。這樣便於理解。

int c[11][101]; //物品最多為10個，容量最大為100kg

int knapsack(int m,int n)

這個方程非常重要，據說基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以詳細的查了一下這個方程的含義：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

在有的地方看到的揹包問題題目中，有兩種不太相同的問法。有的題目要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]為0其它f[1..v]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[n]是一種恰好裝滿揹包的最優解。

如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將f[0..v]全部設為0。

為什麼呢？可以這樣理解：初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

部分內容來自：

這裡有一篇01揹包的blog講的十分好：

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