堆與堆排序

堆排序與快速排序，歸併排序一樣都是時間複雜度為o(n*logn)的幾種常見排序方法。學習堆排序前，先講解下什麼是資料結構中的二叉堆。二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性：

1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何乙個子節點的鍵值。

2．每個結點的左子樹和右子樹都是乙個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何乙個子節點的鍵值時為最小堆。下圖展示乙個最小堆：

由於其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，一般將二叉堆就簡稱為堆。

一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

下面先給出《資料結構c++語言描述》中最小堆的建立插入刪除的**，再給出本人的實現**，最好是先看明白圖後再去看**。

每次插入都是將新資料放在陣列最後。可以發現從這個新資料的父結點到根結點必然為乙個有序的數列，現在的任務是將這個新資料插入到這個有序資料中——這就類似於直接插入排序中將乙個資料併入到有序區間中，對照《白話經典演算法系列之二直接插入排序的三種實現》不難寫出插入乙個新資料時堆的調整**：

[cpp]view plain

copy

// 新加入i結點其父結點為(i - 1) / 2

void

minheapfixup(

inta,

inti)

a[i] = temp;

}

更簡短的表達為：

[cpp]view plain

copy

void

minheapfixup(

inta,

inti)

插入時：

[cpp]view plain

copy

//在最小堆中加入新的資料nnum

void

minheapaddnumber(

inta,

intn,

intnnum)

按定義，堆中每次都只能刪除第0個資料。為了便於重建堆，實際的操作是將最後乙個資料的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還**明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將乙個資料的「下沉」過程。下面給出**：

[cpp]view plain

copy

// 從i節點開始調整,n為節點總數從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2

void

minheapfixdown(

inta,

inti,

intn)

a[i] = temp;

} //在最小堆中刪除數

void

minheapdeletenumber(

inta,

intn)

有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對乙個資料進行堆化操作。要乙個乙個的從陣列中取出資料來建立堆吧，不用！先看乙個陣列，如下圖：

很明顯，對葉子結點來說，可以認為它已經是乙個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分別是乙個合法的堆。只要從a[4]=50開始向下調整就可以了。然後再取a[3]=30，a[2] = 17，a[1] = 12，a[0] = 9分別作一次向下調整操作就可以了。下圖展示了這些步驟：

寫出堆化陣列的**：

[cpp]view plain

copy

//建立最小堆

void

makeminheap(

inta,

intn)

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再來看下如何用堆這種資料結構來進行排序。

首先可以看到堆建好之後堆中第0個資料是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個資料又是堆中最小的資料，重複上述步驟直至堆中只有乙個資料時就直接取出這個資料。

由於堆也是用陣列模擬的，故堆化陣列後，第一次將a[0]與a[n - 1]交換，再對a[0…n-2]重新恢復堆。第二次將a[0]與a[n – 2]交換，再對a[0…n - 3]重新恢復堆，重複這樣的操作直到a[0]與a[1]交換。由於每次都是將最小的資料併入到後面的有序區間，故操作完成後整個陣列就有序了。有點類似於直接選擇排序。

[cpp]view plain

copy

void

minheapsorttodescendarray(

inta,

intn)

} 注意使用最小堆排序後是遞減陣列，要得到遞增陣列，可以使用最大堆。

由於每次重新恢復堆的時間複雜度為o(logn)，共n - 1次重新恢復堆操作，再加上前面建立堆時n / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也為o(logn)。二次操作時間相加還是o(n * logn)。故堆排序的時間複雜度為o(n * logn)。stl也實現了堆的相關函式，可以參閱《stl系列之四 heap 堆》。

注1 作為乙個資料結構，最好用類將其資料和方法封裝起來，這樣即便於操作，也便於理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外還有很多場合可以使用堆來方便和高效的處理資料，以後會一一介紹。

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堆與堆排序

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