acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=122
1959 年 william rowan hamilton 發明了乙個小玩具，這個玩具是乙個木刻的正十二面體，每面系正五角形，三面交於一角，共 20 個角，沒每個角上標有世界上乙個重要城市。他提出乙個問題：要求沿著正十二面體的邊尋找一條路，通過 20 個城市，而每個城市只通過一次，最後返回原地。hamilton 將此問題稱為周遊世界問題，並且坐了肯定的回答。
上面提到的問題就是經典的 hamilton 迴路問題。當然，還有另乙個著名的迴路問題——尤拉迴路問題，不同於 hamilton 迴路問題，尤拉問題已經得到了圓滿解決
設無向圖 g=(v, e)，其中 v 是點集，e 是邊集， n=|v| 表示圖中點的數量，m=|e| 表示圖中邊的數量
hamilton 通路：經過圖 g 中每個節點一次且僅一次的通路稱為 hamilton 通路
hamilton 迴路：經過圖 g 中每個節點一次且僅一次的迴路稱為 hamilton 迴路
hamilton 圖：存在 hamilton 迴路的圖稱為 hamilton 圖
hamilton 通路問題轉化為 hamilton 迴路問題：
乙個可行的做法是列舉通路的起點和終點，新增一條邊，轉化為對應 hamilton 迴路問題
np經典問題，沒有完美的演算法。
充分條件：
定理：設 g=(v, e) 是具有 n 個節點的簡單無向圖（|v|=n），如果對於任意的兩個不相鄰的節點 u, v∈v，均有 deg(u)+deg(v)≥n-1，則 g 中一定存在 hamilton 通路。
證明：
首先證明滿足上述條件的圖是乙個聯通圖，然後用「延長通路法」找出一條 hamilton 通路
（1）、反證法證明滿足上述條件的圖是乙個連通圖：
假設 g 有兩個或者更多聯通分支。設乙個聯通分支有 n1 個節點，另乙個聯通分支有 n2 個節點。這兩個聯通分支中分別有節點 v1 和節點 v2。顯然：deg(v1)≤n1-1，deg(v2)≤n2-1。從而：deg(v1)+deg(v2)≤n1+n2-2≤n-2，與已知條件"對於任意的兩個不相鄰的節點 u, v∈v，均有 deg(u)+deg(v)≥n-1"矛盾，故 g 是聯通的
（2）、證明 g 中存在 hamilton 通路
設 p=v1v2...vk 為 g 中用「延長通路法」得到的「極大基本通路」，即 p 中的始點 v1 和終點 vk 不與 p 外的節點相鄰，顯然 k≤n
（ⅰ）、若 k=n，則 p 為 g 中經過所有節點的通路，即為 hamilton 通路
（ⅱ）、若 k
（a）、若在 p 上 v1 與 vk 相鄰，則 v1v2...vkv1 為僅經過 p 上所有節點的基本迴路
（b）、若在 p 上 v1 不與 vk 相鄰，假設 v1 在 p 上與 vi=v2,vi2,vi3，...，vij 相鄰（j 必然大於等於 2，否則 deg(v1)+deg(vk
)≤1+k-2
設 vk 與 vir-1(2≤r≤j) 相鄰，如下圖所示：在 p 中新增邊 (v1, vir)，(vk, vir-1)，刪除邊 (vir-1, vir) 得到基本迴路：
（ⅲ）、證明存在比 p 更長的通路
因為 k
對 p『 重複 （ⅰ）~（ⅲ），得到 g 中 hamilton 通路或比 p』 更長的基本通路，由於 g 中節點數目有限，故在有限步內一定能得到 g 中一條 hamilton 通路。
推論2.1：設 g=(v, e) 是具有 n 個節點的簡單無向圖，如果對於任意兩個不相鄰的節點 u, v∈v，均有 deg(u)+deg(v)≥n，則 g 中一定存在 hamilton 迴路
需要指出的是，推論2.1就是著名的 ore 定理
推論2.2：設 g=(v, e) 是具有 n 個節點的簡單無向圖，n≥3，如果對於任意的 u∈v，均有 deg(v)≥n/2，則 g 是 hamilton 圖。
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