對龍格函式在區間[-1,1]上取的等距節點，分別作多項式插值、三次樣條插值和三次曲線擬合，畫出及各逼近函式的圖形，比較各結果。
（1） 多項式插值：利用拉格朗日多項式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多項式，即：
表示待插值函式的個節點，
，其中；
（2） 三次樣條插值：三次樣條插值有三種方法，在本例中，我們選擇第一邊界條件下的樣條插值，即兩端一階導數已知的插值方法：
（3）三次曲線擬合：本題中採用最小二乘法的三次多項式擬合。最小二乘擬合是利用已知的資料得出一條直線或者曲線，使之在座標系上與已知資料之間的距離的平方和最小。在本題中，n= 10，故有11個點，以這11個點的和值為已知資料，進行三次多項式擬合，設該多項式為，該擬合曲線只需的值最小即可。
計算機、matlab軟體
1、多項式插值：
在區間上取的等距節點，帶入拉格朗日插值多項式中，求出各個節點的插值，並利用matlab軟體建立m函式，畫出其圖形。
在matlab中建立乙個lagrange.m檔案，裡面**如下：
%lagrange 函式
functiony=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
endend
s=p*y0(k)+s;
endy(i)=s;
end建立乙個polynomial.m檔案，用於多項式插值的實現，**如下：
%lagrange插值
x=[-1:0.2:1];
y=1./(1+25*x.^2);
x0=[-1:0.02:1];
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r')
%插值曲線
hold on
%原曲線
plot(x0,y1,'-b')
執行duoxiangshi.m檔案，得到如下圖形：
2、三次樣條插值：
所謂三次樣條插值多項式是一種分段函式，它在節點分成的每個小區間上是3次多項式，其在此區間上的表示式如下：
因此，只要確定了的值，就確定了整個表示式，的計算方法如下：
令：則滿足如下個方程：
對於第一種邊界條件下有
如果令那麼解就可以為
求函式的二階導數：
>> syms x
>> f=sym(1/(1+25*x^2))
f =1/(1+25*x^2)
>> diff(f)
ans =
-(50*x)/(25*x^2 + 1)^2
將函式的兩個端點，代入上面的式子中：
f』(-1)= 0.0740
f』(1)=-0.0740
求出從-1到1的n=10的等距節點，對應的x，y值
對應m檔案**如下：
for x=-1:0.2:1
y=1/(1+25*x^2)
endy =
得出x=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y=0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385
編寫m檔案three_spline.m
x=linspace(-1,1,11);
y=1./(1+25*x.^2);
[m,p]=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);
hold on
x0=-1:0.01:1;
y0=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'--b')
得到如下影象：
其中藍色曲線為原圖，紅色曲線為擬合後的影象。
3、三次曲線擬合：
這裡我們使用最小二乘法的3次擬合
建立乙個three_fitting .m檔案，**如下：
%主要**
x=[-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];
y=[0.03850.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385];
a=polyfit(x,y,3);
x1=[-1:0.01:1];
y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.^2+a(1)*x1.^3;
x0=[-1:0.01:1];
y0=1./(1+25*x0.^2)
%原曲線
plot(x0,y0,'-r')
holdon
%三次擬合曲線
plot(x1,y1,'-b')
上圖中，藍色部分為三次擬合曲線，紅色部分為原曲線
拉格朗日插值的優點是對於某一區域，不限於被估計點周圍，公式簡單易實施。一般認為n的次數越高，逼近的精度就越好，但在本題中，對龍格函式，中間部分插值效果比較好，而對於兩端，插值結果是非常不理想的，即龍格現象。樣條函式可以給出光滑的插值曲線，從本題中就能體現出來。從以上圖形可以看出，三次樣條插值的圖形是比較逼近於原圖的，收斂性相對而言是非常好的，但在本題中，僅將原區間分成10個等距區間，因此，逼近效果還不是特別理想，當我們將n增大時，插值後的曲線越逼近於原曲線。總的來說，三次樣條插值的穩定性比較好，收斂性比較強。
在這三種方法中，三次曲線擬合的效果是最差的，所得的圖形與原曲線差距甚遠。最小二乘法中，並不要求擬合後的曲線經過所有已知的點，只需要擬合多項式上的點在某種標準上與定點之間的差距最小即可，因此與原曲線的逼近程度是最差的。最小二乘法的多項式擬合只適用於多項式，而本題中的函式並不是乙個多項式，因此，不建議使用最小二乘法擬合。[2] 吳振遠.科學計算實驗指導書 基於matlab數值分析[m]. 中國地質大學出版社
[3] 宋葉志. matlab數值分析與應用[m].機械工業出版社 , 2009.07
附錄三次樣條插值主要**：
function [m,p]=scyt1(x,y,df0,dfn)
n=length(x);
r=ones(n-1,1);
u=ones(n-1,1);
d=ones(n,1);
r(1)=1;
d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));
u(n-1)=1;
d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));
for k=2:n-1
u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1)); r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));
d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1));
enda=eye(n,n)*2;
for k=1:n-1
a(k,k+1)=r(k);
a(k+1,k)=u(k);
endm=a\d;
ft=d(1);
syms t
for k=1:n-1 %求s(x)即插值多項式
p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));
p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));
p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));
p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));
sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k));
endkmax=1000;
xt=linspace(x(1),x(n),kmax);
for i=1:n-1 %出點xt對應的y值
三次樣條曲線
include include using namespace std const int m 16 double dknowx m double dknowy m double dknowdy m double dknowddy m const int n 15 double dinsertx n...
b樣條和三次樣條 樣條曲線
最近在學習軌跡規劃中的軌跡生成，涉及到樣條曲線方面的知識，總結一下。曲線的平滑性和相應的平滑性的評判準則相關，在 1 中，作者採用曲率的平方和曲率導數的平方作為評判準則 其中 是路徑點的方向角。最小化這兩個準則的軌跡分別是圓弧和三階螺旋線，並對在對稱和不對稱情況下如何生成路徑進行了分析，事實表明三階...
三次樣條插值
條件 1 輸入 x y f x 0 leq i leq n 2 要求擬合的曲線 s x 滿足 對於任意的 1 leq i leq n 1 在 x 處一階二階導數連續，s x 也連續，且 s x f x s x f x 求解過程 設 s m 對於區間 x x s x 是 x x 上的線性函式，所以設 ...