今天在看高斯濾波的時候，突然發現用到了許多卷積的計算。趁著這個機會，上網搜搜材料，一定要把卷積的意義給記清楚。
網上有乙個生動的描寫，**
有乙個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。
有乙個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官
——縣令。
無賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂挨了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天
如法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天
......
每天去縣衙門領乙個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持乙個月之久！這無賴的名氣已
經和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！
縣令大人噤著鼻子，呆呆地盯著案子上的驚堂木，擰著眉頭思考乙個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？
......
想當初，本老爺金榜題名時，數學可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題：
——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？
——費話，疼唄！
——我問的是：會有什麼表現？
——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨乙個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出
0）；如果一次連揍他十個板子，
他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺著不哼（輸出
1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出
3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，
一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出
5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉強哼出聲來（輸出
1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）
—— 死啦！
縣令鋪開座標紙，以打板子的個數作為
x軸，以哼哼的程度（輸出）為
y軸，繪製了一條曲線：
——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀？
——呵呵，你打一次的時間間隔（
δτ=24
小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是乙個常數；如果縮短打板子的時間間隔
（建議δτ=0.5
秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（
t=30
）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，
再多打就顯示不出您的仁慈了。
——還是不太明白，時間間隔小，為什麼痛苦程度會疊加呢？
——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激勵）的響應有關。什麼是響應？人挨乙個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失
（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時間間隔很小，每乙個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻：
t個大板子造成的痛苦程度
=σ(第
τ個大板子引起的痛苦
*衰減係數
)[衰減係數是（
t-τ）的函式，仔細品味
]數學表達為：
y(t)=∫t(τ)h(t-τ)
看了這個例子，再想想：卷積其實就是系統對乙個激勵的響應，如果這個激勵就是乙個單個時間點的脈衝，那麼不用解釋，輸出就直接是系統對這個脈衝的響應而已。但是，如果這個激勵是在乙個時間段內的連續脈衝，輸出就是系統對各個脈衝響應的疊加嗎？當然不是，如果是那麼卷積也就不存在了(用上面的例子，就是無賴挨30大板的疼痛肯定不是挨一板子疼痛的30倍)。因為，根據系統的不同，隨著時間的推移，早些時候來的脈衝的響應有可能會衰弱、增大或者不規則得變化。因此，才有
y(t)=∫t(τ)h(t-τ)
這個公式。它說明了t(t）和h(t),(注意t的大小寫)的卷積，就是人體這個系統挨30大板的輸出是t個大板子*它的衰減係數的和。這裡的衰減係數與還剩下多少個板子要打正相關。
把這個原理用在解釋 高斯濾波上，相當於一股需要被濾波的影象作為乙個連續的激勵，要輸入到高斯濾波器這個系統，這裡定義高斯核如下：
就相當於一幅把自己的所有畫素點和這個畫素點旁邊的點依次和這個矩陣做乘法再相加。其中，高斯核就是t(t),而影象輸入的畫素點就是h(t-t)。注意，這裡的h(t-t)就不太適合叫衰減係數了，因為它不是隨著時間而衰減，而是隨著畫素點的畫素值變化而變化。
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