Dijkstra演算法（單源最短路徑）

單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其它任一頂點的最短路徑。在弄清楚如何求算單源最短路徑問題之前，必須弄清楚最短路徑的最優子結構性質。

乙個問題的最優解包含其子問題的最優解，這個問題就具有最優解。例如：動態規劃和貪心演算法具有最優子結構性質。

一.最短路徑的最優子結構性質

該性質描述為：如果p(i,j)=是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的乙個中間頂點，那麼p(k,s)必定是從k到s的最短路徑。下面證明該性質的正確性。

假設p(i,j)=是從頂點i到j的最短路徑，則有p(i,j)=p(i,k)+p(k,s)+p(s,j)。而p(k,s)不是從k到s的最短距離，那麼必定存在另一條從k到s的最短路徑p'(k,s)，那麼p'(i,j)=p(i,k)+p'(k,s)+p(s,j)二.dijkstra演算法

由上述性質可知，如果存在一條從i到j的最短路徑(vi.....vk,vj)，vk是vj前面的一頂點。那麼(vi...vk)也必定是從i到k的最短路徑。為了求出最短路徑，dijkstra就提出了以最短路徑長度遞增，逐次生成最短路徑的演算法。譬如對於源頂點v0，首先選擇其直接相鄰的頂點中長度最短的頂點vi，那麼當前已知可得從v0到達vj頂點的最短距離dist[j]=min。根據這種思路，

假設存在g=，源頂點為v0，u=,dist[i]記錄v0到i的最短距離，path[i]記錄從v0到i路徑上的i前面的乙個頂點。

1.從v-u中選擇使dist[i]值最小的頂點i，將i加入到u中；

2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min)

3.知道u=v，停止。

**實現:

/*
dijkstra求單源最短路徑 2010.8.26
*/#include 
#include
#define m 100
#define n 100
using
namespace
std;
typedef 
struct
node
mgraph; 
void dijkstrapath(mgraph g,int *dist,int *path,int v0)   //
v0表示源頂點 
else
visited[i]=false
;        path[v0]=v0;
dist[v0]=0
;    }
visited[v0]=true
;    
for(i=1;i//
迴圈擴充套件n-1次 
} visited[u]=true
;        
for(k=0;k//
更新dist陣列的值和路徑的值 
}        
}    
}void showpath(int *path,int v,int v0)   //
列印最短路徑上的各個頂點 
s.push(v);
while(!s.empty())
} int main(int argc, char *argv)
cin>>v0;        //
輸入源頂點 
dijkstrapath(g,dist,path,v0);
for(i=0;i)}}
return0;
}

測試資料：

執行結果：

Dijkstra演算法（單源最短路徑）

單源最短路 Dijkstra演算法

單源最短路演算法 Dijkstra

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單源最短路 Dijkstra演算法

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