上篇的標記演算法中，談到這個o(k)的演算法是乙個指數級複雜度的演算法，其實對那道題目本身來說，k是固定的，既然不是輸入，那也無所謂複雜度，之所以有o(k)這種說法，是把k當做一種輸入了，這是看待輸入的角度問題，倒不用深究。考慮乙個更簡化的演算法（python**，設輸入n是正整數）：
def f(n):
i = 0
while i < n:
i += 1
這個演算法在任意整數輸入下都返回none，我們關注的重點是它的時間複雜度，根據python的相關機制，賦值操作是乙個指標修改，可以認為是常數時間完成，於是這個演算法執行了n次比較運算和加一運算
之所以用python舉例，因為python的整數和c的整數型別不同，是不限制位數的（由於記憶體有限，實際還是有限制的，但也足夠大了），也就是說，不能將整數的所有運算都看做是常數時間的，因為數字可能非常大，在內部是用乙個陣列來儲存。最簡單的例子，兩個數字a和b相加，需要做的工作和它倆的長度有關，因此加法時間複雜度是和lga，lgb線性相關
不過在這個例子中，我們可以證明比較和加一運算都是平均常數時間的，如果兩個大數比較，先看長度，長的那個顯然大，如果一樣長，則從前往後用類似strcmp的演算法，根據前面某篇的討論，strcmp的平均時間複雜度是o(1)；另一方面，雖然上面說加法跟數字的位數線性相關，但若是加一運算，只有在產生連續進製的時候運算時間才和長度有關，而連續加一操作平均每次是常數時間（參考演算法導論的平攤分析一章）
於是我們就可以說，上面這個演算法的複雜度是θ(n)，這個結論沒有錯，但這個演算法是乙個指數級複雜度，原因在於，輸入規模並不是和n線性相關的，對於乙個演算法的輸入規模，有乙個明確簡單的定義，就是輸入的長度
由此，可以把輸入分為兩種，資料輸入和數值輸入，假設使用2進製作為表示形式，則對於乙個數值n來說，它的輸入規模是lgn，當然，如果使用base大於2的進製，輸入長度會短，但從漸進意義上來說是一樣的，因為當x和y都大於1的時候，θ(log(n,x))=θ(log(n,y))，因此用二進位制就能說明問題了。時間複雜度為θ(t(n))，可以認為當輸入規模變為原來的k倍時，演算法執行時間大約會增長到原來的t(k)倍這個級別，因此就上面這個演算法來說，如果輸入規模增長到原來的k倍，那輸入的數值n會變成原來的k次方，因此，由於n是數值輸入，θ(n)改寫成以輸入規模n的表示，就是θ(2^n)，是乙個指數級別複雜度
對於資料輸入，就比較好理解了，如果不考慮每個資料本身的數值長度（有時候還是要考慮），則資料輸入的規模就是其數量
假如乙個演算法有數值輸入，且其時間複雜度可以表示為輸入數值（不是輸入規模）的多項式，則根據上面的討論，實際應該是乙個指數時間的演算法，但這種情況畢竟和資料輸入規模的指數級複雜度有些不同，一般來說，直觀上也習慣用輸入數值來表示複雜度，對於這種看上去像是多項式（數值的多項式）而實際代表演算法是指數級（輸入規模作為指數）的複雜度，稱其為偽多項式複雜度
很多演算法具有偽多項式複雜度，例如，採用從2開始試除的方式判定乙個整數n是否是素數，需要做n^(1/2)次除法，而每次除法的時間跟lgn有關，乍一看這個多項式也不高，但由於n會隨著輸入規模很快增長，仍然是乙個指數時間的演算法，用它判定素數是很低效的
p.s.聽說已經有了多項式時間判定素數的演算法，時間複雜度是o((lgn)^6)到o((lgn)^12)，當然這裡由於n會隨著輸入規模的線性增長而指數級增長，所以不妨設輸入規模m=lgn，就容易理解了
利用動態規劃，0-1揹包問題可以有乙個o(nw)的演算法，由於w是數值輸入，因此這個演算法是偽多項式時間的。事實上，通過計算理論中的方法，可以證明0-1揹包問題是乙個npc問題，如果不理解偽多項式，就很難理解為何它有乙個o(nw)的演算法，卻是npc的
存在偽多項式時間複雜度演算法的npc問題，一般稱為弱npc問題，反之則是強npc問題，弱npc問題似乎更「接近」p，在相關問題的研究中經常引起人們更大的興趣
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