完美洗牌演算法

原文：

完美洗牌問題:給定乙個陣列a1,a2,a3,...an,b1,b2,b3..bn,把它最終設定為b1,a1,b2,a2,...bn,an這樣的。

分析：首先，有的問題要求把它換成a1,b1,a2,b2,...an,bn。其實也差不多。我們可以：迴圈n次交換a1,b1,a2,b2, 把陣列變為b1,b2...bn,a1,a2...an，時間複雜度o(n)，再用完美洗牌問題的演算法。或者先用完美洗牌演算法，再迴圈n次交換每組相鄰的兩個元素，也是o(n)。所以，我們只研究第一行給出的問題。為方便起見，我們考慮的是乙個下標從1開始的陣列，下標範圍是[1..2n]。我們看一下每個元素最終去了什麼地方。

前n個元素 a1 -> a2 a2->a4.... 第i個元素去了第（2 * i）的位置，後n個元素a(n + 1)->a1, a(n + 2)->a3... 第i個元素去了第 ((2 * (i - n-1) ) + 1) = (2 * i - (2 * n + 1)) = (2 * i) % (2 * n + 1) 個位置。統一一下，任意的第i個元素，我們最終換到了 (2 * i) % (2 * n + 1)的位置，這個取模很神奇，不會產生0。所有的位置編號還是從1到n。

一、完美洗牌演算法1

**如下：

// 時間o(n)，空間o(n) 陣列下標從1開始  
void pefect_shuffle1(int *a,int n)   
for (i = 1; i <= n2; ++i)   
}

二、完美洗牌演算法2---分治的力量a1, a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4

我們先要把前半段的後2個元素(a3,a4)與後半段的前2個元素(b1,b2)交換，得到a1,a2,b1,b2,a3,a4,b3,b4。

於是，我們分別求解子問題a (a1,a2,b1,b2)和子問題b (a3,a4,b3,b4)就可以了。

如果n = 5，是偶數怎麼辦？我們原始的陣列是a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5，我們先把a5拎出來，後面所有元素前移，再把a5放到最後，變為a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,b5,a5。可見這時最後兩個元素b5,a5已經是我們要的結果了，所以我們只要考慮n=4就可以了。

那麼複雜度怎麼算？每次，我們交換中間的n個元素，需要o(n)的時間，n是奇數的話，我們還需要o(n)的時間先把後兩個元素調整好，但這步影響總體時間複雜度。所以，無論如何都是o(n)的時間複雜度。

於是我們有 t(n) = t(n / 2) + o(n) 這個就是跟歸併排序一樣的複雜度式子，最終複雜度解出來t(n) = o(nlogn)。空間的話，我們就在陣列內部折騰的，所以是o(1)。（當然沒有考慮遞迴的棧的空間）

**：

//時間o(nlogn) 空間o(1) 陣列下標從1開始  
void perfect_shuffle2(int *a,int n)   
int n2 = n * 2, n3 = n / 2;  
if (n % 2 == 1)   
a[n2] = t;  
--n;  
}  //到此n是偶數  
for (i = n3 + 1; i <= n; ++i)   
// [1.. n /2]  
perfect_shuffle2(a, n3);  
perfect_shuffle2(a + n, n3);  
}

三、完美洗牌演算法這個演算法源自一篇文章，文章很數學，可以只記結論就好了…… 這個演算法的具體實現還是依賴於演算法1，和演算法2的。首先，對於每乙個元素，它最終都會到達乙個位置，我們如果記錄每個元素應到的位置會形成圈。為什麼會形成圈？比如原來位置為a的元素最終到達b，而b又要達到c……，因為每個新位置和原位置都有乙個元素，所以一條鏈 a->b->c->d……這樣下去的話，必然有乙個元素會指向a，（因為中間那些位置b,c,d……都已經被其它元素指向了）。這就是圈的成因。

比如 6個元素原始是(1,2,3,4,5,6), 最終是(4,1,5,2,6,3),我們用a->b表示原來下標為a的元素，新下標為b了。

//陣列下標從1開始，from是圈的頭部，mod是要取模的數 mod 應該為 2 * n + 1，時間複雜度o(圈長）
void cycle_leader(int *a,int
from, int mod) 
a[from] = last;
}

那麼如何找到每個圈的頭部呢？引用一篇**，名字叫：

a ****** in-place algorithm for in-shuffle.

peiyush jain, microsoft corporation.

利用數論知識，包括原根、甚至群論什麼的，**給出了乙個出色結論(*)

:對於2 * n = (3^k - 1)，這種長度的陣列，恰好只有k個圈，並且每個圈的頭部是1,3,9,...3^(k - 1)

。這樣我們就解決了這種特殊的n作為長度的問題。那麼，對於任意的n怎麼辦？我們利用演算法2的思路，把它拆成兩部分，前一部分是滿足結論(*)。後一部分再單獨算。

為了把陣列分成適當的兩部分，我們同樣需要交換一些元素，但這時交換的元素個數不相等，不能簡單地迴圈交換，我們需要更強大的工具——迴圈移。假設滿足結論(*)的需要的長度是2 * m = (3^k - 1)，我們需要把n分解成m和n - m兩部分，按下標來說，是這樣：

原先的陣列(1..m) (m + 1.. n) (n + 1..n + m)(n + m + 1..2 * n)，我們要達到的陣列 (1..m)(n + 1.. n + m)(m + 1..n)(n + m + 1..2 * n)。可見，中間那兩段長度為(n - m)和m的段需要交換位置，這個相當於把(m + 1..n + m)的段迴圈右移m次，而迴圈右移是有o(長度)的演算法的, 主要思想是把前(n - m)個元素和後m個元素都翻轉一下，再把整個段翻轉一下。

迴圈移位的**：

//翻轉字串時間複雜度o(to - from)
void reverse(int *a,int
from,int to) 
}//迴圈右移num位 時間複雜度o(n)
void right_rotate(int *a,int num,int n)

再用a和b舉例一下，設n = 7這樣m = 4, k = 2

原先的陣列是a1,a2,a3,a4,(a5,a6,a7),(b1,b2,b3,b4),b5,b6,b7。

結論(*)是說m = 4的部分可以直接搞定，也就是說我們把中間加括號的那兩段(a5,a6,a7) (b1,b2,b3,b4)交換位置，也就是把(a5,a6,a7,b1,b2,b3,b4)整體迴圈右移4位就可以得到：(a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4)(a5,a6,a7,b5,b6,b7)

於是前m = 4個由演算法cycle_leading演算法直接搞定，n的長度減小了4。

所以這也是一種分治演算法。演算法流程：

輸入陣列 a[1..2 * n]

step 1 找到 2 * m = 3^k - 1 使得 3^k <= 2 * n < 3^(k +1)

step 2 把a[m + 1..n + m]那部分迴圈移m位

step 3 對每個i = 0,1,2..k - 1，3^i是個圈的頭部，做cycle_leader演算法，陣列長度為m，所以對2 * m + 1取模。

step 4 對陣列的後面部分a[2 * m + 1.. 2 * n]繼續使用本演算法，這相當於n減小了m。

時間複雜度分析：

1 因為迴圈不斷乘3的，所以時間複雜度o(logn)

2 迴圈移位o(n)

3 每個圈，每個元素只走了一次，一共2*m個元素，所以複雜度omega(m), 而m < n，所以也在o(n)內。

4 t(n - m)

因此複雜度為 t(n) = t(n - m) + o(n) m = omega(n) 解得：總複雜度t(n) = o(n)。

演算法**：

//時間o(n)，空間o(1)
void perfect_shuffle3(int *a,int n) 
//step 4
a += m * 2;
n -= m;
}// n = 1
t = a[1];
a[1] = a[2];
a[2] = t;  
}

以上所有**已經測試

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